Funkcja z pierwiastkiem
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 14 paź 2020, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 28
- Podziękował: 4 razy
Funkcja z pierwiastkiem
Mam równanie do obliczenia:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}+ x^{2} - 2x - 1 = 0}\)
Zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} = -x^{2} + 2x + 1}\)
Żeby pozbyć się pierwiastka podniosłam obie strony do kwadratu i wyszło
\(\displaystyle{ x+1 = x^4 -4x^3+2x^2+4x+1}\)
\(\displaystyle{ -x^4+4x^3-2x^2-3x=0}\)
Czy do tej pory jest ok? Ewentualnie jak ruszyć dalej?
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}+ x^{2} - 2x - 1 = 0}\)
Zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} = -x^{2} + 2x + 1}\)
Żeby pozbyć się pierwiastka podniosłam obie strony do kwadratu i wyszło
\(\displaystyle{ x+1 = x^4 -4x^3+2x^2+4x+1}\)
\(\displaystyle{ -x^4+4x^3-2x^2-3x=0}\)
Czy do tej pory jest ok? Ewentualnie jak ruszyć dalej?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Funkcja z pierwiastkiem
Warto napisać założenia gdy wykonuje się takie przekształcenia. Z drugiej strony ewentualnych odpowiedzi i tak będzie skończona ilość więc na koniec można je sprawdzić ręcznie. Tak czy inaczej jest nieźle. Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ x=0}\) jest oczywistym kandydatem na rozwiązanie sprawdź go a potem podziel przez \(\displaystyle{ x \neq 0}\). Równanie wielomianowe które wyjdzie trzeba będzie rozwiązać. Sprawdzaj dzielniki wyrazu wolnego.
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Funkcja z pierwiastkiem
Albo trochę inaczej, nie będzie potrzeby rozpatrywania nieujemności stron
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}+ x^{2} - 2x - 1 = 0}\)
Niech \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=t\wedge t\ge 0}\)
wtedy \(\displaystyle{ x=t^2-1}\)
i równanie przyjmie postać
\(\displaystyle{ t+(t^2-1)^2-2(t^2-1)-1=0}\)
\(\displaystyle{ t^4-4t^2+t+2=0}\)
łatwo zauważyć, że jego rozwiązaniami są \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -2}\), pozostałe do znalezienia...
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}+ x^{2} - 2x - 1 = 0}\)
Niech \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=t\wedge t\ge 0}\)
wtedy \(\displaystyle{ x=t^2-1}\)
i równanie przyjmie postać
\(\displaystyle{ t+(t^2-1)^2-2(t^2-1)-1=0}\)
\(\displaystyle{ t^4-4t^2+t+2=0}\)
łatwo zauważyć, że jego rozwiązaniami są \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -2}\), pozostałe do znalezienia...
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Funkcja z pierwiastkiem
Tak nie do końca. Kiedy `\sqrt{x+1}=-2`?JHN pisze: ↑15 paź 2020, o 18:26 Albo trochę inaczej, nie będzie potrzeby rozpatrywania nieujemności stron
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}+ x^{2} - 2x - 1 = 0}\)
Niech \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=t\wedge t\ge 0}\)
wtedy \(\displaystyle{ x=t^2-1}\)
i równanie przyjmie postać
\(\displaystyle{ t+(t^2-1)^2-2(t^2-1)-1=0}\)
\(\displaystyle{ t^4-4t^2+t+2=0}\)
łatwo zauważyć, że jego rozwiązaniami są \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -2}\), pozostałe do znalezienia...
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 14 paź 2020, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 28
- Podziękował: 4 razy
Re: Funkcja z pierwiastkiem
Przekształciłam to w formę:
\(\displaystyle{ x(x-3)(x^2-x-1) = 0}\)
Więc dostałam 4 rozwiązania
\(\displaystyle{ x _{1} = 0, x _{2} = 3, x _{3} = (1- \sqrt{5})/2, x _{4} = (1+ \sqrt{5})/2}\)
Na pierwszy rzut oka widać że 0 spełnia to równanie, a reszta? Jak do tego dojść?
\(\displaystyle{ x(x-3)(x^2-x-1) = 0}\)
Więc dostałam 4 rozwiązania
\(\displaystyle{ x _{1} = 0, x _{2} = 3, x _{3} = (1- \sqrt{5})/2, x _{4} = (1+ \sqrt{5})/2}\)
Na pierwszy rzut oka widać że 0 spełnia to równanie, a reszta? Jak do tego dojść?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Funkcja z pierwiastkiem
Wygląda to ok.
to czyli które? Wiesz do którego równania masz podstawić te liczby? Masz czterech kandydatów na rozwiązania i podstawiasz je do pierwszego pierwotnego równania i patrzysz czy działa.
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 14 paź 2020, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 28
- Podziękował: 4 razy
Re: Funkcja z pierwiastkiem
Ok, czyli wychodzi
\(\displaystyle{ x = 0}\) i \(\displaystyle{ x = (1+ \sqrt{5})/2}\)
\(\displaystyle{ x = 0}\) i \(\displaystyle{ x = (1+ \sqrt{5})/2}\)
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Funkcja z pierwiastkiem
Zgoda, nie do końca rozwiązałem równanie zmiennej \(\displaystyle{ t}\)... , ale na pewno nie napisałem \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=-2}\)
Miłego wieczoru!
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Funkcja z pierwiastkiem
Jeśli narysować wykresy lewej i prawej strony równania, łatwo widać, że ma ono dwa pierwiastki.
Natomiast wielomian
\(\displaystyle{ -x^4+4x^3-2x^2-3x=0}\)
ma cztery pierwiastki rzeczywiste
Dlaczego?
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Funkcja z pierwiastkiem
Mamy dwie metody rozwiązywania równań:
- metoda równań równoważnych
-metoda starożytnych.
Rozwiązując równanie niewymierne jedną z tych metod, podnieśliśmy obie strony równania do drugiej potęgi.
Otrzymaliśmy równanie stopnia czwartego. Działanie to wprowadziło dodatkowe pierwiastki.
Sprawdzenie przez podstawienie do równania wyjściowego tych pierwiastków, pozwoliło na wyeliminowanie pierwiastków, które nie sprawdzają równanie wyjściowe.
- metoda równań równoważnych
-metoda starożytnych.
Rozwiązując równanie niewymierne jedną z tych metod, podnieśliśmy obie strony równania do drugiej potęgi.
Otrzymaliśmy równanie stopnia czwartego. Działanie to wprowadziło dodatkowe pierwiastki.
Sprawdzenie przez podstawienie do równania wyjściowego tych pierwiastków, pozwoliło na wyeliminowanie pierwiastków, które nie sprawdzają równanie wyjściowe.
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Funkcja z pierwiastkiem
Wyliczanie pierwiastków ze złotej liczby i ich towazrzyszy nie jest zadaniem fascynującym.
1. pokażemy, że równanie nie ma ujemnych pierwiastków:
Dla \(\displaystyle{ -1\leq x<0}\) mamy `x+1<0`, więć `\sqrt{x+1}>x+1`
Zatem
`sqrt{x+1}+x^2-2x-1>x+1+x^2-2x-1=x^2-x>0`
czyli \(\displaystyle{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\) nie jest pierwiastkiem.
Zero jest pierwiastkiem , trójka nie - to sprawdzamy prosto
Napiszmy równie w postaci `\sqrt{x+1}+(x-1)^2=2`. Widać, że lewa strona rośnie do nieskończoności przy `x>1` a w jedynce ma wartość `\sqrt2<2`. Zatem równanie ma dokłądnie jedno rozwiązanie i musi im być \(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\)
1. pokażemy, że równanie nie ma ujemnych pierwiastków:
Dla \(\displaystyle{ -1\leq x<0}\) mamy `x+1<0`, więć `\sqrt{x+1}>x+1`
Zatem
`sqrt{x+1}+x^2-2x-1>x+1+x^2-2x-1=x^2-x>0`
czyli \(\displaystyle{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\) nie jest pierwiastkiem.
Zero jest pierwiastkiem , trójka nie - to sprawdzamy prosto
Napiszmy równie w postaci `\sqrt{x+1}+(x-1)^2=2`. Widać, że lewa strona rośnie do nieskończoności przy `x>1` a w jedynce ma wartość `\sqrt2<2`. Zatem równanie ma dokłądnie jedno rozwiązanie i musi im być \(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Funkcja z pierwiastkiem
Po chwili refleksji:
pokazanie, że \(\displaystyle{ x_3=\frac{1-\sqrt5}{2}}\) nie jest pierwiastkiem jest dość trywialne:
\(\displaystyle{ \sqrt{x_3+1}+x_3^2-2x_3-1=\sqrt{x_3+1}+\red{x_3^2-x_3-1}-x_3>0}\)
bo czerwone wyrażenie jest zerem (pamiętamy wszak, jakiego równania pierwiastkiem jest `x_3`).
Podobnie pokazuje się, że \(\displaystyle{ x_4=\frac{1+\sqrt5}{2}}\) jest pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ \sqrt{x_4+1}+x_3^2-2x_3-1=\sqrt{x_4+1}+\red{x_4^2-x_4-1}-x_4=\sqrt{x_4+1}-x_4=\frac{\red{x_4+1-x_4^2}}{\sqrt{x_4+1}+x_4}=0}\)
Dodano po 35 minutach 38 sekundach:
A jak już to wszystko się zauważyło, to przychodzi takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{
\sqrt{x+1}+x^2-2x-1=\sqrt{x+1}-x +x^2-x-1=\sqrt{x+1}-x - (\sqrt{x+1}-x)(\sqrt{x+1}+x)\\
=(\sqrt{x+1}-x)(1-\sqrt{x+1}-x)=(\sqrt{x+1}-x)\left(\frac{1-x-1}{1+\sqrt{x+1}}-x\right)\\
=-x(\sqrt{x+1}-x)\left(\frac{1}{1+\sqrt{x+1}}+1\right)
}\)
Dalej już elementarz
Dodano po 57 sekundach:
To ostatnie jest na tyle elementarne, że jest w zasięgu każdego licealisty
pokazanie, że \(\displaystyle{ x_3=\frac{1-\sqrt5}{2}}\) nie jest pierwiastkiem jest dość trywialne:
\(\displaystyle{ \sqrt{x_3+1}+x_3^2-2x_3-1=\sqrt{x_3+1}+\red{x_3^2-x_3-1}-x_3>0}\)
bo czerwone wyrażenie jest zerem (pamiętamy wszak, jakiego równania pierwiastkiem jest `x_3`).
Podobnie pokazuje się, że \(\displaystyle{ x_4=\frac{1+\sqrt5}{2}}\) jest pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ \sqrt{x_4+1}+x_3^2-2x_3-1=\sqrt{x_4+1}+\red{x_4^2-x_4-1}-x_4=\sqrt{x_4+1}-x_4=\frac{\red{x_4+1-x_4^2}}{\sqrt{x_4+1}+x_4}=0}\)
Dodano po 35 minutach 38 sekundach:
A jak już to wszystko się zauważyło, to przychodzi takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{
\sqrt{x+1}+x^2-2x-1=\sqrt{x+1}-x +x^2-x-1=\sqrt{x+1}-x - (\sqrt{x+1}-x)(\sqrt{x+1}+x)\\
=(\sqrt{x+1}-x)(1-\sqrt{x+1}-x)=(\sqrt{x+1}-x)\left(\frac{1-x-1}{1+\sqrt{x+1}}-x\right)\\
=-x(\sqrt{x+1}-x)\left(\frac{1}{1+\sqrt{x+1}}+1\right)
}\)
Dalej już elementarz
Dodano po 57 sekundach:
To ostatnie jest na tyle elementarne, że jest w zasięgu każdego licealisty