Mam problem z dowodem następującej własności:
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{F}\subset 2^{\Omega}}\) będzie sigma-ciałem, gdzie \(\displaystyle{ \Omega}\) jest zbiorem przeliczalnym. Udowodnić, że istnieje rodzina przeliczalna \(\displaystyle{ \mathcal{F}_0\subset \mathcal{F}}\) złożona ze zbiorów niepustych, parami rozłącznych i taka, że dla każdego \(\displaystyle{ A\subset\Omega:}\)
\(\displaystyle{ A\in\mathcal{F} \iff \bigvee_{\mathcal{A}\subset \mathcal{F}_0}A=\bigcup \mathcal{A}}\)
W szczególności \(\displaystyle{ \Omega=\bigcup \mathcal{F}_0}\). Ponadto dla każdego \(\displaystyle{ A\in\mathcal{F}}\) rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jest wyznaczona jednoznacznie.
Odnośnie dowodu, to próbowałem zdefiniować \(\displaystyle{ \mathcal{F}_0}\) jako rodzinę wszystkich atomów, gdzie zbiór \(\displaystyle{ F}\) nazywamy atomem, gdy \(\displaystyle{ F\in\mathcal{F}, F\neq \emptyset}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ B\in\mathcal{F}}\), jeśli \(\displaystyle{ B\subset F}\), to \(\displaystyle{ B=\emptyset}\) lub \(\displaystyle{ B=F}\). Wiem, że nazwa "atom" funkcjonuje w matematyce, chociaż nie jestem pewien, czy właśnie w tym sensie.
Udało mi się pokazać, że atomy są parami rozłączne i rodzina atomów jest przeliczalna (użyłem pewnika wyboru, nie wiem czy da się bez niego). Problem jest z dowodem równoważności (nawet dla \(\displaystyle{ A=\Omega}\)). Jednoznaczność rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) też potrafię pokazać. Będę wdzięczny za wskazówki.
Charakteryzacja sigma-ciała na zbiorze przeliczalnym
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10261
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2381 razy
Re: Charakteryzacja sigma-ciała na zbiorze przeliczalnym
Wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ \Omega}\) jest sumą atomów, dalej jest już łatwo. Ustalmy więc dowolny \(\displaystyle{ a \in \Omega}\) i rozważmy zbiór \(\displaystyle{ [a] = \bigcap \{ F \in \mathcal{F} : a \in F \}}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ [a] \in \mathcal{F}}\), przedstawiając ten zbiór jako przekrój przeliczalnej rodziny elementów \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała. Dla każdego \(\displaystyle{ b \in \Omega \setminus [a]}\) wybierzmy \(\displaystyle{ F_b \in \mathcal{F}}\) spełniający \(\displaystyle{ a \in F_b, b \notin F_b}\). Wtedy
\(\displaystyle{ [a] = \bigcap_{b \in \Omega \setminus [a]} F_b}\)
jest obiecanym przedstawieniem. Jest też oczywiste, że \(\displaystyle{ [a]}\) jest atomem zawierającym \(\displaystyle{ a}\), tak jak trzeba.
\(\displaystyle{ [a] = \bigcap_{b \in \Omega \setminus [a]} F_b}\)
jest obiecanym przedstawieniem. Jest też oczywiste, że \(\displaystyle{ [a]}\) jest atomem zawierającym \(\displaystyle{ a}\), tak jak trzeba.
-
- Użytkownik
- Posty: 2285
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Charakteryzacja sigma-ciała na zbiorze przeliczalnym
Pewnie jest to oczywiste, ale nie widzę dowodu zawierania z prawej na lewą.