Płyta liczona jako belka

[StudentIB]

Witam,

mam krótkie pytanie na temat zginania płyt. Czy niektóre z nich można liczyć jako belki ? Weźmy np. płytę prostokątną z obciążeniem ciągłym utwierdzoną na jednym końcu (pozostałe krawędzie swobodne). Czy taką płytę można potraktować jako zwykłą belkę wspornikową ? Jakich różnic w wynikach można się spodziewać ? W jakich przypadkach można a w jakich nie można stosować takiego uproszczenia ? I czy są sposoby/wzory na policzenie takiej płyty bez traktowania jej jako belki ?

Załączam poglądowy rysunek dla jasności:

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/yheQsJr

Z góry dziękuję za pomoc

[kruszewski]

Sztywność zginanej płyty jest większa niż "belki" o tych samych , a to z racji zaniedbywanlej deplanacji przekroju poprzecznego zginanej płyty i konieczności uwzględnienia odkształceń (i naprężeń) w kierunku prostopadłym do ugięcia płyty.
Dokładnie w stosunku \(\displaystyle{ \frac{1}{1- \nu}}\)
Dla stali jest to różnica około 10% na korzyść płyty.

(Vide: M.E. i T. Niezgodzińscy, Wytrzymałość materiałów, Wyd. Nauk. PWN, wyd XIV, str.240-242).

[StudentIB]

Dziękuję za odpowiedź, to bardzo przydatna informacja. Książkę Niezgodzińskich mam w nowym wydaniu, której jest okrojone o połowę. Starsze jest już w drodze.

Czyli można korygować wyniki uzyskane dla płyty liczonej jako belka o tę wartość skoro jest mniej więcej stała dla różnych przypadków ? A jest jakiś sposób żeby policzyć taką płytę utwierdzoną na jednej krawędzi normalnie jako płytę ? Nie znalazłem tego przykładu w książce „Teoria płyt i powłok” Timoshenko.

[kruszewski]

Czy nie lepiej stosować obowiązujące wzory dla takich przypadków?
Mam wrażenie, że o tych 10% czytałem tam. Ale mogę się mylić.

[StudentIB]

Owszem, najlepiej by było policzyć taką płytę bez traktowania jej jako belki. Ale nie znalazłem nigdzie w literaturze tego przypadku (jedna krawędź utwierdzona, pozostałe wolne). W książce Timoshenko najbliższy jest przypadek płyty z jedną krawędzią utwierdzoną i pozostałymi swobodnie podpartymi, ale to nie to samo.

[kruszewski]

Nie można wymagać od autora podawania odpowiedzi na każde pytanie czytelnka. Książka miałaby wówczas objętość nie małej ciężarówki.
Stiepan Prokopowicz Timoszenko, był inżynierem mechanikiem, stąd i jego zainteresowania przypadkami przydatnymi tej części sztuki inżynierskiej.
Nie jest trudno wyprowadzić wzór na naprężenie maksymalne
\(\displaystyle{ \sigma_{max} = \frac{6 m_{x{(max)}}}{h^2} }\)
i zredukowane (wg hipotezy Hubera)
\(\displaystyle{ \sigma _{red} = \sigma _{max} \cdot \sqrt{1- \nu - \nu^2 }}\)

gdzie \(\displaystyle{ m_x}\) jest momentem w przekroju a \(\displaystyle{ \nu}\) liczbą Poissona materiału,
zauważając brak deplanacji przekojów poprzecznych zginanych belek o jednostkowej szerokości na które wirtualnie podzielono zginaną płytę.

[StudentIB]

Ten wzór na naprężenia zginające w płycie kojarzę. Ale żeby z niego korzystać trzeba obliczyć moment. Dla niektórych przypadków są podane wzory i tablice współczynników (zależnych od wymiarów płyty) do tego, ale ten prosty przykład płyty wspornikowej nigdzie nie jest rozpatrywany. Sprawdzałem też inne podręczniki (np. tablice Niezgodzińskich). Wie Pan jak wyliczyć moment dla takiej płyty ? Docelowo chciałbym też uwzględnić fakt, iż obciążenie ciągłe nie jest na całej długości płyty tylko zaczyna się w pewnej odległości od utwierdzenia, ale na razie wystarczy mi przypadek z ciśnieniem działającym na całą płytę.

[kruszewski]

W tym wzorze \(\displaystyle{ m_x }\) jest momentem w przekroju o współrzędnej "\(\displaystyle{ x}\)" przypadającym na jednostkową szerokość płyty.
Przykładowo, dla płyty prostokątnej utwierdzonej wzduż jednej krawędzi o długości "\(\displaystyle{ b}\)" w przekroju odległym o "\(\displaystyle{ x }\)" od utwierdzenia i bez obciążenia zewnętrznego na tym odcinku płyty:

\(\displaystyle{ m_x = \frac{M_u -x \cdot R_v}{b} }\)

[StudentIB]

Na pewni jest jakiś sposób żeby policzyć taki prosty przypadek płyty. Wiem, że czasami liczy się je za pomocą szeregów, ale tu może wystarczy jakaś prostsza metoda (np. superpozycji) a najlepiej gotowy wzór. Pytanie gdzie to znaleźć w literaturze. Sprawdzałem nawet w „Konstrukcjach żelbetowych” Starosolskiego i tam też nie ma takiego przypadku. Uproszczenie do belki ma jeszcze sens jeśli płyta jest długa i wąska (podparta na krótszym boku), ale w odwrotnym przypadku (jak półka - podparta na długiej krawędzi) nie ma to już sensu.

[kruszewski]

Proszę popytać w IB Politechniki o to, jak oblicza się przekroje i utwierdzenie płyt balkonowych.

[StudentIB]

Spytanie kogoś z budownictwa to dobry pomysł, tam na pewno częściej spotyka się takie belki. Zasięgnąłem języka w tej sprawie na forum konstruktorów budowlanych i uzyskałem odpowiedź, że najlepiej "wyciąć" z tej płyty pasmo o szerokości \(\displaystyle{ 1 \ m}\) i potraktować je jako belkę. Nie jestem jednak pewien czy to na pewno poprawne podejście w tym przypadku i czy dobrze je rozumiem. Uprzejmie proszę o sprawdzenie moich krótkich obliczeń.

Zakładam szerokość \(\displaystyle{ 6 \ m}\) (ten bok jest utwierdzony), długość \(\displaystyle{ 120 \ mm}\) i grubość \(\displaystyle{ 3 \ mm}\). Płyta ze stali o module Younga \(\displaystyle{ 210000 \ MPa}\). Chodzi o wyznaczenie maksymalnego obciążenia ciągłego (tak, by naprężenia i ugięcie nie przekroczyły wartości dopuszczalnych). Wycinam pasmo o szerokości \(\displaystyle{ 1 \ m}\) i dla niego liczę naprężenia jak dla belki:

Schemat płyty:

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/jMJ36Bp

\(\displaystyle{ \sigma_{max}=\frac{0.5qL^{2}}{\frac{bh^{2}}{6}}}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{max}=\frac{0.5 \cdot q \cdot 120^{2}}{\frac{1000 \cdot 3^{2}}{6}}}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{max}=4.8 \cdot q}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{max} \le \sigma_{dop}}\)

\(\displaystyle{ q \le 0.208333 \cdot \sigma_{dop}}\)

Natomiast ugięcie:

\(\displaystyle{ y_{max}=\frac{qL^{4}}{8EI}}\)

\(\displaystyle{ y_{max}=\frac{q \cdot 120^{4}}{8 \cdot 210000 \cdot \frac{1000 \cdot 3^{3}}{12}}}\)

\(\displaystyle{ y_{max}=\frac{48q}{875}=0.05486 \cdot q}\)

\(\displaystyle{ y_{max} \le y_{dop}}\)

\(\displaystyle{ q \le 18.228 \cdot y_{dop}}\)

Czy tak jest dobrze ? To już są wyniki dla całej płyty ? A może, skoro liczę tylko pasmo płyty, powinienem np. pomnożyć wyniki przez \(\displaystyle{ 6}\) ? No i czy takie pasmo nie jest jednak za szerokie ?

[kruszewski]

Sugerowałem zasięgnięcie języka w Instytucie Politechniki.
Jeżeli ma Pan dostęp do podręcznika:
Janusz Walczak, Wytrzymałość materiałów oraz podstawy terii sprężystości i plastyczności, tom II,
to proszę przeczytać w rozdziale XIII Płyty, paragrafy 137 Założenia elementarnej teorii płyt cienkich i 138 Zgięcie walcowe płyty.
Tam znajdzie Pan odpowiedź na zadane pytania.

Dodano po 20 godzinach 5 minutach 22 sekundach:
Przeczuwając kłopoty z dostępem do proponowanej książki odpowiem na pytania w znacznym skrócie.
niech belka będzie płytą utwierdzoną wzdłuż jednej krawędzi zorientowanej wzdłuż osi \(\displaystyle{ y}\) .
Przyłożone obciążenie działa na całej szerokości \(\displaystyle{ b(0,y)}\) i jest stałe wzdłuż tej osi.
Zginaną tak płytę można podzielić wirtualnie na beleczki szerokości jednostkowej \(\displaystyle{ \beta =1}\) , długości \(\displaystyle{ l(0,x)}\) i grubości \(\displaystyle{ h }\).
Obciążenie czynne wywołuje moment utwierdzenia \(\displaystyle{ M_u = b \cdot m_y}\)
Wybierając taką jedną wirtualna beleczkę zauważamy, że jej przekroje poprzeczne w zginaniu w obszerach rozciągania i ściskania nie ulegają odkształceniu jak w prostym zginaniu. Nie są płaskimi trapezami a prostokątami. Zachowują swój prostkątny kształt. Zatem na bokach takiej beleczki występują naprężenia \(\displaystyle{ \sigma_y = \nu \cdot \sigma _x}\),
gdzie \(\displaystyle{ \sigma_x = \frac{E}{1-\nu^2} \cdot \frac{z}{\rho_y}}\),\(\displaystyle{ z}\)- odległość warstwy , od osi obojętnej, zaś \(\displaystyle{ \rho_y}\) promeń krzywizny tej warstwy. wpłaszczyźnie \(\displaystyle{ x-z}\)
Oba te naprężenia składają się na zastępcze w tym punkcie
\(\displaystyle{ \sigma_o = \sqrt{\sigma_x ^2 + \sigma _y^2 - \sigma_x \sigma_y}}\)
Po podstawieniach i i przekształceeniach względem grubości płyty \(\displaystyle{ h }\) otrzymuje się z wzorów na naprężenia maksymalne:
\(\displaystyle{ \sigma _{xmax}= \frac{m_y}{W_y}}\), oraz
\(\displaystyle{ \sigma_{ymax} = \nu \frac{m_y}{W_y} }\)

\(\displaystyle{ \sigma_o = \frac{6m_y}{h^2} \sqrt{1+\nu^2 - \nu} }\)

które z warunku bezpieczeństwa nie może przeraczać kryterium \(\displaystyle{ k_g}\)

Dodano po 1 dniu 5 godzinach 12 minutach 36 sekundach:
Może Pan pokazać tu schemat i obciążenie tej płyty?

Dodano po 5 minutach :
Taki jaki w pierwszych postach Pan pokazał?

[StudentIB]

Dziękuję, te informacje o obliczeniach płyt na pewno mi się przydadzą.

Oto schemat płyty, którą analizuję:

[StudentIB]

Może komuś jeszcze się to przyda: przeglądając „Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów” Banasiak, Grossman, Trombski znalazłem rozwiązanie problemu płyty wspornikowej. Wprawdzie nie ma tam mowy o tym, czy płyta jest utwierdzona na dłuższej czy krótszej krawędzi, ale może nie ma to znaczenia. W każdym razie są tam wyprowadzone takie wzory na naprężenia i ugięcie:

\(\displaystyle{ \sigma_{x \ max}=\frac{3qa^{2}}{h^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{y \ max}=\nu \cdot \frac{3qa^{2}}{h^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{red \ max}=\frac{3qa^{2}}{h^{2}} \cdot \sqrt{1+ \nu^{2}- \nu}}\)

\(\displaystyle{ w_{max}=\frac{3 (1- \nu^{2})qa^{4}}{2 E h^{3}}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ q}\) - wartość obciążenia ciągłego, \(\displaystyle{ a}\) - długość płyty (od utwierdzonego do wolnego końca), \(\displaystyle{ h}\) - grubość płyty

Wyniki uzyskane za pomocą tych wzorów są wyraźnie bliższe rezultatom analizy MES niż wyniki obliczeń, w których płytę traktujemy jako belkę:
- MES (rozwiązanie referencyjne):
\(\displaystyle{ \sigma_{max}=124 \ MPa}\)
\(\displaystyle{ y_{max}=1.515 \ mm}\)
- obliczenia wg teorii beleczek:
\(\displaystyle{ \sigma_{max}=144 \ MPa}\)
\(\displaystyle{ y_{max}=1.646 \ mm}\)
- obliczenia z podanych wyżej wzorów:
\(\displaystyle{ \sigma_{max}=127.99 \ MPa}\)
\(\displaystyle{ y_{max}=1.4976 \ mm}\)