Całka podwójna z koła

[krzysiek000]

Witam,
Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu całki jak poniżej. Mój wynik to \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi }\) lecz Pani Doktor mówi że jest źle.

\(\displaystyle{ \iint_{D} (3-xy)dxdy , D=\{(x,y)\in \RR^2 : x^2 + y^2 \leqslant 1 \wedge y\geqslant 0 \} }\)


Z góry dziękuję za pomoc.

[Jan Kraszewski]

Pokaż swoje rachunki.

JK

[janusz47]

Najprościej, wprowadzamy współrzędne biegunowe:

\(\displaystyle{ ( r, \theta)\rightarrow (r\cos(\theta), \ \ r\sin(\theta)) }\)

Nie zapominamy o Jakobianie \(\displaystyle{ J(r, \theta) = r. }\)

Zapisujemy całkę w tych współrzędnych.

[krzysiek000]

Niestety mam problem z zamieszczeniem obrazu. Po przekształceniu na współrzędne biegunowe wygląda to następująco:

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\pi} \int\limits_{0}^{1} (3-r\cos\varphi\cdot r\sin\varphi)r drd\varphi \\ gdzie\\ 0 < r < 1 \\ 0 < \varphi < \pi}\)

[a4karo]

Całka z `xy` jest równa zero że względu na symetrie obszaru względem osi `oy`, więc wartość calki jest poprawna