Podciało

[pasjonat_matematyki]

Dzień dobry

Czy mógłbym prosić o wyjaśnienie wątpliwości w związku z poniższym dowodem?

Jeśli podzbiór\(\displaystyle{ A }\) ciała \(\displaystyle{ K}\) zawiera elementy \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) oraz jest zamknięty ze względu na działania dodawania i mnożenia, to podzbiór ten z działaniami dodawania i mnożenia (ciała \(\displaystyle{ K}\) zredukowanymi do podzbioru \(\displaystyle{ A}\)) i z wyróżnionymi elementami \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) jest systemem algebraicznym i jeśli system ten jest ciałem , to podzbiór \(\displaystyle{ A}\) jest podciałem ciała \(\displaystyle{ K}\).
Istotnie, jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem , to dla dowolnego elementu \(\displaystyle{ a \in A}\) istnieje w systemie \(\displaystyle{ A}\) taki element \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ a+b=0}\). Ponieważ suma elementów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) w systemie \(\displaystyle{ A}\) jest równa sumie tych elementów w ciele \(\displaystyle{ K}\) , a element zerowy systemu \(\displaystyle{ A}\) jest elementem zerowym ciała \(\displaystyle{ K}\) , więc element \(\displaystyle{ b}\) jest przeciwny do elementu \(\displaystyle{ a}\) w ciele \(\displaystyle{ K}\). Wobec tego dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\) element \(\displaystyle{ -a}\) też należy do \(\displaystyle{ A}\). Ponieważ ponadto podzbiór \(\displaystyle{ A }\) jest zamknięty ze względu na dodawanie , więc dla \(\displaystyle{ a,b \in A}\) mamy \(\displaystyle{ b-a = b+(-a) \in A}\). Wobec tego zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zamknięty ze względu na odejmowanie. Podobnie dowodzi się, że dla dowolnych elementow \(\displaystyle{ a,b \in A}\), \(\displaystyle{ a \neq 0}\), element \(\displaystyle{ b/a}\) też należy do \(\displaystyle{ A}\). Podzbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zatem podciałem ciała \(\displaystyle{ K}\). (Źródło: Algebra, A. Białynicki-Birula).

No właśnie. Po co te całe rozważania o elemencie przeciwnym w \(\displaystyle{ A}\)? Jeśli zalożymy, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem, to na pewno ma element przeciwny i na pewno zarówno dodawanie, mnożenie, odejmowanie i dzielenie przez niezerowy element są wykonalne w tym ciele.
Albo weźmy to zdanie: "Wobec tego dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\) element \(\displaystyle{ -a}\) też należy do \(\displaystyle{ A}\)."
Tak to jest sformułowane, jakby fakt, że \(\displaystyle{ -a}\) też należy do \(\displaystyle{ A}\) wynikał z czegoś innego niż po prostu z faktu, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem.

Z góry dziękuję i pozdrawiam

[matmatmm]

No właśnie. Po co te całe rozważania o elemencie przeciwnym w \(\displaystyle{ A}\)? Jeśli zalożymy, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem, to na pewno ma element przeciwny i na pewno zarówno dodawanie, mnożenie, odejmowanie i dzielenie przez niezerowy element są wykonalne w tym ciele.

My nie zakładamy, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem, tylko dowodzimy, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem pod założeniem, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zamknięty na działania.

Albo weźmy to zdanie: "Wobec tego dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\) element \(\displaystyle{ -a}\) też należy do \(\displaystyle{ A}\)."
Tak to jest sformułowane, jakby fakt, że \(\displaystyle{ -a}\) też należy do \(\displaystyle{ A}\) wynikał z czegoś innego niż po prostu z faktu, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem.

Jak wyżej. Nie zakładamy, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem.

[Dasio11]

Nie zakładamy, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem.

Owszem, zakładamy:

Jeśli podzbiór\(\displaystyle{ A }\) ciała \(\displaystyle{ K}\) zawiera elementy \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) oraz jest zamknięty ze względu na działania dodawania i mnożenia, to podzbiór ten z działaniami dodawania i mnożenia (ciała \(\displaystyle{ K}\) zredukowanymi do podzbioru \(\displaystyle{ A}\)) i z wyróżnionymi elementami \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) jest systemem algebraicznym i jeśli system ten jest ciałem, to podzbiór \(\displaystyle{ A}\) jest podciałem ciała \(\displaystyle{ K}\).

A problem wziął się z oznaczania dwóch różnych operacji jednym symbolem „\(\displaystyle{ -}\)” (co jest w algebrze standardowe i na ogół nieszkodliwe). Z założenia że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem wynika tylko tyle, że każdy element tego zbioru ma w nim element przeciwny liczony w systemie \(\displaystyle{ A}\). Dowód natomiast dotyczy faktu, że każdy element \(\displaystyle{ A}\) ma w \(\displaystyle{ A}\) element przeciwny liczony w ciele \(\displaystyle{ K}\).

[matmatmm]

No tak. Zbyt pobieżnie to przeczytałem.

Najwidoczniej autor przyjmuje jakąś inną definicję podciała niż ta, która jest dla mnie najbardziej naturalna: Podzbiór \(\displaystyle{ A}\) ciała \(\displaystyle{ K}\) wyznacza podciało, gdy wraz z działaniami dziedziczonymi jest ciałem.