Witam. Mam problem z następującym zadaniem:
Niech \(\displaystyle{ \Gamma}\) będzie krzywą określoną we współrzędnych kartezjańskich warunkami \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}=2x }\) i \(\displaystyle{ y \le 0}\). Wybierając dowolnie orientację krzywej \(\displaystyle{ \Gamma}\) obliczyć \(\displaystyle{ \int_{\Gamma}^{} (2x\ln(2y+7)+7 x^{3}) \dd x + (\frac{2 x^{2} }{2y+7}-16 y^{2}) \dd y }\)
Całka krzywoliniowa
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 8035
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1707 razy
Re: Całka krzywoliniowa
Krzywa \(\displaystyle{ \Gamma }\) jest dolnym półokręgiem o równaniu \(\displaystyle{ (x-1)^2 +y^2 =1, \ \ y\leq 0 }\) wraz z jego średnicą .
Krzywą \(\displaystyle{ \Gamma }\) parametryzujemy za pomocą współrzędnych biegunowych.
Równania parametryczne tej krzywej wzdłuż okręgu możemy zapisać w postaci \(\displaystyle{ ... }\)
Równania parametryczne odcinka średnicy półokręgu \(\displaystyle{ ...}\)
Obliczamy całkę krzywoliniową skierowaną wzdłuż krzywej \(\displaystyle{ \Gamma}\) jako sumę dwóch całek - wzdłuż okręgu i wzdłuż średnicy, przyjmując dowolną orientację (dodatnią lub ujemną)
\(\displaystyle{ \int_{(\Gamma)} X dx + Ydy = \int_{\alpha}^{\beta}X(x,y)x^{'} + Y(x,y)y^{'} |_{x= x(t), y= y(t)} dt.}\)
Krzywą \(\displaystyle{ \Gamma }\) parametryzujemy za pomocą współrzędnych biegunowych.
Równania parametryczne tej krzywej wzdłuż okręgu możemy zapisać w postaci \(\displaystyle{ ... }\)
Równania parametryczne odcinka średnicy półokręgu \(\displaystyle{ ...}\)
Obliczamy całkę krzywoliniową skierowaną wzdłuż krzywej \(\displaystyle{ \Gamma}\) jako sumę dwóch całek - wzdłuż okręgu i wzdłuż średnicy, przyjmując dowolną orientację (dodatnią lub ujemną)
\(\displaystyle{ \int_{(\Gamma)} X dx + Ydy = \int_{\alpha}^{\beta}X(x,y)x^{'} + Y(x,y)y^{'} |_{x= x(t), y= y(t)} dt.}\)