Obliczanie momentów dewiacji
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 10 kwie 2018, o 08:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jarosław
- Podziękował: 2 razy
Obliczanie momentów dewiacji
Dzień dobry, interesuje mnie następująca rzecz: czy dla figur nie posiadających osi symetrii możliwe jest analityczne wyznaczenie momentów dewiacji, czy ma ktoś może jakiś przykład jak taki moment dewiacji analitycznie wyznaczyć? Chodzi mi o to, żeby nie korzystać z twierdzenia Steinera a policzyć względem dowolnie obranego układu współrzędnych. Chciałbym wyprowadzić wzór dla trójkąta różnobocznego.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Obliczanie momentów dewiacji
Metoda całkowania
Rysunek dowolnego trójkąta, na przykład ostrokątnego o długości podstawy \(\displaystyle{ a }\) leżącej na osi \(\displaystyle{ Ox }\) - prostokątnego układu współrzędnych \(\displaystyle{ Oxy }\) i wysokości \(\displaystyle{ h. }\)
Moment bezwładności względem osi \(\displaystyle{ Ox }\)
\(\displaystyle{ I_{x} = \int_{0}^{h}y^2 dS \ \ (1) }\)
Na wysokości \(\displaystyle{ y }\) rysujemy prostokątny "pasek " o długości \(\displaystyle{ x }\) i infinimetyzalnej szerokości \(\displaystyle{ dy. }\)
Wtedy element powierzchniowy trójkąta jest równy
\(\displaystyle{ dS = xdy \ \ (2) }\)
Z podobieństwa trójkątów
\(\displaystyle{ \frac{x}{a} = \frac{h-y}{h}. }\)
Stąd
\(\displaystyle{ x = \frac{a}{h}(h - y) \ \ (3) }\)
Uwzględniając \(\displaystyle{ (2), (3) }\) i \(\displaystyle{ (1) }\)
\(\displaystyle{ I_{x} = \int_{0}^{h} y^2 x dx = \int_{0}^{h} y^2 \frac{a}{h}( h-y ) dy = \frac{a}{h} \left[ \frac{y^3}{h} - \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{h} = \frac{a h^4}{h}\left(\frac{1}{3} -\frac{1}{4} \right) = \frac{a h^3}{12}.}\)
Rysunek dowolnego trójkąta, na przykład ostrokątnego o długości podstawy \(\displaystyle{ a }\) leżącej na osi \(\displaystyle{ Ox }\) - prostokątnego układu współrzędnych \(\displaystyle{ Oxy }\) i wysokości \(\displaystyle{ h. }\)
Moment bezwładności względem osi \(\displaystyle{ Ox }\)
\(\displaystyle{ I_{x} = \int_{0}^{h}y^2 dS \ \ (1) }\)
Na wysokości \(\displaystyle{ y }\) rysujemy prostokątny "pasek " o długości \(\displaystyle{ x }\) i infinimetyzalnej szerokości \(\displaystyle{ dy. }\)
Wtedy element powierzchniowy trójkąta jest równy
\(\displaystyle{ dS = xdy \ \ (2) }\)
Z podobieństwa trójkątów
\(\displaystyle{ \frac{x}{a} = \frac{h-y}{h}. }\)
Stąd
\(\displaystyle{ x = \frac{a}{h}(h - y) \ \ (3) }\)
Uwzględniając \(\displaystyle{ (2), (3) }\) i \(\displaystyle{ (1) }\)
\(\displaystyle{ I_{x} = \int_{0}^{h} y^2 x dx = \int_{0}^{h} y^2 \frac{a}{h}( h-y ) dy = \frac{a}{h} \left[ \frac{y^3}{h} - \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{h} = \frac{a h^4}{h}\left(\frac{1}{3} -\frac{1}{4} \right) = \frac{a h^3}{12}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 10 kwie 2018, o 08:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jarosław
- Podziękował: 2 razy
Re: Obliczanie momentów dewiacji
Dziekuje Janusz47, przetestuję i zobaczę czy wyjdzie taki wynik
Ostatnio zmieniony 4 sie 2020, o 10:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?