Jaki sens ma konkretny przedział ufności?

[PLrc]

To chyba odpowiedni dział na moje pytanie.
Wytłumaczcie mi proszę jedną rzecz. Wiem dobrze jaki sens ma przedział ufności jako pewna funkcja losowa: jest to taki losowy przedział, że z p-stwem co najmniej \(\displaystyle{ 1-\alpha}\) pokryje nieznany parametr. Czyli trochę innymi słowy: przed zebraniem danych i wylosowaniem tego przedziału, mieliśmy p-stwo co najmniej \(\displaystyle{ 1-\alpha}\), że przedział, który wyliczymy pokryje nieznany parametr.

A jaki jest sens przedziału ufności po jego wyliczeniu? Jaką informację on z sobą niesie? Bo tutaj już przecież nie mamy żadnej losowości i nie możemy powiedzieć, że on z p-stwem co najmniej \(\displaystyle{ 1-\alpha}\) pokrywa nieznany parametr.

[beatrycze]

Jest to przedział, który z prawdopodobieństwem (z ufnością) \(\displaystyle{ 1 -\alpha }\) pokrywa nieznaną wartość parametru w odniesieniu nie tylko do próby \(\displaystyle{ n- }\) elementowej ale całej rozpatrywanej populacji.

[PLrc]

Otóż nie. Tutaj na stronie 77:

Kod: Zaznacz cały

https://docplayer.pl/52060132-Statystyka-i-wojciech-niemiro-lutego-2014.html

możesz przeczytać w skrypcie do statystyki:
Jeśli obliczone z próbki wartości statystyk są równe, powiedzmy, \(\displaystyle{ \underline{g}=5}\) i \(\displaystyle{ \overline{g}=8,}\) to nie ma sensu sformułowanie "wielkość \(\displaystyle{ g(\theta)}\) należy do przedziału [5,8] z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1-\alpha}\)!. Doświadczenie losowe już zostało wykonane i zakończyło się albo "sukcesem" (to znaczy zaszło zdarzenie losowe \(\displaystyle{ g(\theta) \in [\underline{g}, \overline{g}]}\)) lub "porażką" (\(\displaystyle{ g \notin [\underline g , \overline g] }\) ). Osobliwość sytuacji polega na tym, że nie wiemy, która z tych ewentualności ma miejsce.

[beatrycze]

Mówisz o dwóch różnych rzeczach o prawdopodobieństwie zajścia i niezajścia zdarzenia.

Ja podałam interpretację otrzymanego przedziału ufności o końcach \(\displaystyle{ [L,\ \ P ] }\)

Interpretację przedziału ufności przenosimy zawsze z próby na całą populację, w której estymujemy nieznaną wartość parametru \(\displaystyle{ \theta. }\)

Zapoznaj się na przykład z materiałami pomocniczymi Statystyka Andrzeja Luszniewicza lub skryptem Statystyka Barbary Rószkiewicz z WSH.

[PLrc]

Ale twierdzisz, że jak na podstawie próby obliczysz przedział ufności na poziomie ufności 0,95 i dostaniesz np. [6,10] to znaczy, że masz p-stwo 95% że prawdziwy parametr należy do przedziału [6,10]? A jak powtórzysz doświadczenie i dostaniesz przy tym samym poziomie istotności przedział np. [6,5;9,5], to co wtedy? Wtedy powiesz, ze z p-stwem 95% należy do przedziału [6,5;9,5]?

[beatrycze]

Jak otrzymasz przedział ufności o końcach np \(\displaystyle{ [6,\ \ 10] }\) z \(\displaystyle{ 1- \alpha = 0,95 }\) to go interpretujesz:

" Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95}\) należy oczekiwać że przedział o końcach \(\displaystyle{ 6, 10 }\) należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją na przykład wariancję importu owoców południowych wszystkich ( a nie tylko \(\displaystyle{ 25 }\) firm prywatnych) zajmujących się importem owoców południowych".

Jeśli powtórzysz doświadczenie na tej samej próbie \(\displaystyle{ n = 25 }\) firm, to możesz otrzymać inny przedział ufności na przykład o końcach \(\displaystyle{ [6,5, \ \ 9,5]}\) (należący do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją wariancję importu owoców południowych) i interpretujesz go w ten sam sposób.

[PLrc]

Ok, czyli zmieniłaś swoją interpretację przedziału ufności. Poprzednio podawałaś taką:

Jest to przedział, który z prawdopodobieństwem (z ufnością) \(\displaystyle{ 1 -\alpha }\) pokrywa nieznaną wartość parametru w odniesieniu nie tylko do próby \(\displaystyle{ n- }\) elementowej ale całej rozpatrywanej populacji.

Właśnie zrozumiałem, dlaczego ta interpretacja jest zła. Jeżeli na podstawie próby wyliczysz np. przedział ufności [6,10] na poziomie ufności 0,95 to twierdzenie, że z p-stwem 95% należy do niego nieznany parametr w notacji matematycznym zapisuje się

\(\displaystyle{ \mathbb P(6 \leq g(\theta) \leq 10) =0,95.}\)

Lewa strona tego równania to zapis typu

\(\displaystyle{ \mathbb P (5 \leq 6). }\)

Moim zdaniem on ma sens tylko jeśli zdefiniujesz sobie zmienne losowe tożsamościowo równe 5 i 6:
\(\displaystyle{ X(\omega):=5,\ Y(\omega):=6 }\) (co jest chyba oczywiste, że tak należy interpretować tego typu zapis).
Zatem zapis typu

\(\displaystyle{ \mathbb P(6 \leq g(\theta) \leq 10)}\)

(w klasycznej statystyce, nie bayesowskiej) ma sens tylko jeśli interpretujesz 6 i 10 jako zmienne losowe tożsamościowo równe 6 i 10. Ale w dalszym ciągu p-stwo

\(\displaystyle{ \mathbb P(6 \leq g(\theta) \leq 10)}\)

może być równe tylko 1, albo 0 (w zależności od tego, czy \(\displaystyle{ g(\theta)}\) należy do przedziału [6,10], czy nie należy. I to nie może być równe np. 0,95.

Natomiast interpretacja

Jak otrzymasz przedział ufności o końcach np [6, 10] z \(\displaystyle{ 1−α=0,95}\) to go interpretujesz:

" Z prawdopodobieństwem 0,95 należy oczekiwać że przedział o końcach 6,10 należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją na przykład wariancję importu owoców południowych wszystkich" ( a nie tylko 25 firm prywatnych) zajmujących się importem owoców południowych".

również jest błędna. Bo tutaj Twoj przedział [6,10] jest wielkością stałą, a nie losową. Więc nawet jak by go interpretować jako "zmienną losową" równą tożsamościowo [6,10] to i tak jest to zdanie typu

\(\displaystyle{ \mathbb P ([6,10] \in \{ [5,7], [6,10], [11,12]\})}\)

(pomijając kwestię tego jak należałoby zdefiniować tutaj przestrzeń probabilistyczną i p-stwo na niej) lub

\(\displaystyle{ \mathbb P (5 \in [4,10]) }\).

Takie coś nie może być równe 0,95. Takie coś może być równe tylko 0 albo 1.

[beatrycze]

Nic nie zmieniałam. Nie rozumiesz praktycznej interpretacji przedziału ufności. Posługujesz się teorią.

W praktyce statystycznej wzorując się na tym przykładzie, znajdujemy przedziały ufności\(\displaystyle{ [L_{i}, \ \ P_{i}] }\) dla różnych wartości \(\displaystyle{ p_{i}= 1 -\alpha_{i}, \ \ i = 1,2,..., m, \ \ n = 25. }\) Obliczamy dla każdego z nich błąd bezwzględny \(\displaystyle{ \Delta_{S}}\) i względny przybliżenia \(\displaystyle{ \delta_{S}}\). Przyjmujemy przedział ufności \(\displaystyle{ [ L^{*}, \ \ P^{*}] }\) dla wartości średnich \(\displaystyle{ \Delta \overline{S}, \ \ \delta \overline{S}. }\) Przyjmujemy jako precyzje tego przybliżenia odchylenie standardowe \(\displaystyle{ D_{\overline{S}}.}\)

[PLrc]

Nic nie zmieniałam. Nie rozumiesz praktycznej interpretacji przedziału ufności. Posługujesz się teorią.

No tak, bo ta "klasyczna" interpretacja nie ma sensu Nie można mówić o p-stwie po wyliczeniu przedziału ufności. O p-stwie możemy mówić tylko przed wyliczeniem przedziału ufności, czyli gdy mamy jakieś \(\displaystyle{ [\underline g , \overline g ] }\), gdzie \(\displaystyle{ \underline g }\) i \(\displaystyle{ \overline g }\) są zmiennymi losowymi, a nie liczbami.

Mimo wszystko dziękuję Ci za dyskusję. Była ona dla mnie pożyteczna. Teraz dajmy się wypowiedzieć innym forumowiczom (będę wdzięczny za wszelkie wypowiedzi).

[micd]

Cześć, masz rację. Nie możemy tu mówić o prawdopodobieństwie. I dlatego właśnie wprowadzono pojęcie przedziału ufności

A można to interpretować w ten sposób, że jak byś estymował przedział ufności wielokrotnie na nowo wylosowanej próbie, to z częstością około \(\displaystyle{ 1- \alpha }\) prawdziwa wartość parametru trafiałaby w te przedziały. Dodam, że taką procedurę stosuje się do określenia, czy faktycznie ta częstość, dla zadanych wartości parametrów rozkładu i próby jest zgodna z wartością założoną. Bo może tak być, że np. dla małej liczności próby rozkład dla krańców przedziałów nie zbiegł jeszcze do rozkładu graniczengo. Przykładowy świetny artykuł w tym temacie:

Kod: Zaznacz cały

http://www-stat.wharton.upenn.edu/~lbrown/Papers/2001a%20Interval%20estimation%20for%20a%20binomial%20proportion%20%28with%20T.%20T.%20Cai%20and%20A.%20DasGupta%29.pdf

Może popłynę, ale zinterpretowałbym to jeszcze tak, że otrzymany przedział ufności jest estymatorem wartości oczekiwanej losowego przedziału który pokrywa prawdziwy parametr z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1- \alpha }\).