Zadanie dowodowe z wielomianów

[PokeKolekcjoner]

Mam problem z następującym zadaniem,

Dane są liczby naturalne dodatnie \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ p}\) oraz wielomian
\(\displaystyle{ f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}}\) o współczynnikach całkowitych.
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ p+1}\) nie dzieli żadnej z liczb: \(\displaystyle{ f(k)}\), \(\displaystyle{ f(k+1)}\),..., \(\displaystyle{ f(k+p)}\) to wielomian nie ma pierwiastków wymiernych.

Z góry dziękuję za pomoc

[Dasio11]

Czy możesz skorzystać z

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Gaussa_%28algebra%29

?

[PokeKolekcjoner]

Raczej nie, jest to zadanie w książce do 2 klasy liceum :d

[beatrycze]

Załóż wbrew tezie, że wielomian \(\displaystyle{ f(x) }\) posiada pierwiastek wymierny na przykład \(\displaystyle{ m }\).

Mamy więc \(\displaystyle{ f(m)=0. }\)

Skorzystaj z twierdzenia Bezout: \(\displaystyle{ (x-m) | f(x) }\), czyli \(\displaystyle{ f(x) = (x-m)g(x) }\), gdzie \(\displaystyle{ g(x) }\) jest wielomianem o współczynnikach wymiernych.

Rozważ liczby wymierne \(\displaystyle{ f(k+s) = (k + s -m) g(k+s) }\) dla \(\displaystyle{ s = 0,1,2,3,...,p. }\)

Co powiesz o liczbach postaci \(\displaystyle{ p+1, }\) a \(\displaystyle{ k+ s -m }\) dla \(\displaystyle{ s = 0,1,2,3,...,p ? }\)

Jaka stąd wypływa teza dla pewnego \(\displaystyle{ s = 0,1,2,...,p, }\) która przeczy założeniu?

Sprzeczność ta dowodzi tezy.

[Dasio11]

Być może umyka mi coś oczywistego, ale ja w tym nie widzę żadnej sprzeczności.

[Dasio11]

Ok, da się bez lematu Gaussa: załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) ma pierwiastek wymierny \(\displaystyle{ m}\). Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych gwarantuje, że \(\displaystyle{ m \in \ZZ}\). Stąd i z twierdzenia Bezouta w odpowiedniej wersji mamy \(\displaystyle{ f(x) = (x-m)g(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ g(x)}\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych.

W tej sytuacji działa przytoczony wyżej argument:

Rozważ liczby wymierne \(\displaystyle{ f(k+s) = (k + s -m) g(k+s) }\) dla \(\displaystyle{ s = 0,1,2,3,...,p. }\)

Co powiesz o liczbach postaci \(\displaystyle{ p+1, }\) a \(\displaystyle{ k+ s -m }\) dla \(\displaystyle{ s = 0,1,2,3,...,p ? }\)

Jaka stąd wypływa teza dla pewnego \(\displaystyle{ s = 0,1,2,...,p, }\) która przeczy założeniu?

Sprzeczność ta dowodzi tezy.

z tym, że wszystkie te liczby są nie tylko wymierne (bo wtedy argument nie działa), lecz całkowite.