Próby Bernoulliego

[41421356]

Mirek trafia piłką do kosza każdorazowo z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,6}\). Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba trafień przy \(\displaystyle{ 5}\) rzutach?

Czy prawidłowa odpowiedź to \(\displaystyle{ 3}\)?

[JHN]

Czy prawidłowa odpowiedź to \(\displaystyle{ 3}\)?

Ponieważ
\(\displaystyle{ (5+1)\cdot0,6=3,6\notin\ZZ}\) i \(\displaystyle{ [3,6]=3}\),
to... tak.

Pozdrawiam

[41421356]

A czy nie będzie to po prostu z wartości oczekiwanej dla rozkładu dwumianowego:

\(\displaystyle{ EX=np=5\cdot 0,6=3}\)

?

[Dasio11]

Nie - niby dlaczego najbardziej prawdopodobna liczba trafień miałaby być równa wartości oczekiwanej?

Dla \(\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, 5}\) oblicz prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p_k = P(k \text{ trafień})}\) i wyznacz \(\displaystyle{ k}\), dla którego to prawdopodobieństwo jest największe. W razie problemów spróbuj zbadać monotoniczność \(\displaystyle{ p_k}\) jako ciągu zmiennej \(\displaystyle{ k}\).

[41421356]

Ok, to może najpierw po kolei. Wartość oczekiwana w tym przypadku to nie będzie \(\displaystyle{ 3}\) tylko \(\displaystyle{ 3,6}\)?

[Dasio11]

Wartość oczekiwana liczby trafień wynosi \(\displaystyle{ 3}\), ale nie ma to związku z treścią zadania.

[41421356]

Czy prawidłowa odpowiedź to \(\displaystyle{ 3}\)?

Ponieważ
\(\displaystyle{ (5+1)\cdot0,6=3,6\notin\ZZ}\) i \(\displaystyle{ [3,6]=3}\),
to... tak.

Pozdrawiam

Mógłbym prosić o wyjaśnienie tego rozumowania? Z tą wartością oczekiwaną to już jasne jest , że wynosi ona \(\displaystyle{ 3}\). Mam jeszcze pytanie odnośnie tego rozkładu. Czy jest jakiś wzór na to, aby bez wyliczania tych wszystkich prawdopodobieństw poznać właściwą odpowiedź?

[Dasio11]

Czy jest jakiś wzór na to, aby bez wyliczania tych wszystkich prawdopodobieństw poznać właściwą odpowiedź?

Wzór jest, ale wynika on właśnie z wyliczania "tych wszystkich prawdopodobieństw". Mianowicie: jeśli zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dwumianowy \(\displaystyle{ \operatorname{B}(n, p)}\) i \(\displaystyle{ p < 1}\), to najbardziej prawdopodobną wartością \(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ \lfloor (n+1)p \rfloor}\).

[41421356]

Rozumiem, po prostu pytanie w treści zadania odnosi się do mody. Jej równość z wartością oczekiwaną to zbieg okoliczności. Już wszystko jasne, dziękuję bardzo za pomoc i pozdrawiam!

[JHN]

Dokładnie
.

Pozdrawiam