Problem z zadaniem - Zbiory/relacje

[spellthy]

Dana jest relacja \(\displaystyle{ R \subseteq \mathcal{P}(\ZZ_+) \times \NN = \{(A, n) \mid n \text{ jest najmniejszym elementem } A \}}\). Czy \(\displaystyle{ R}\) jest funkcją? Surjekcją?

[Janusz Tracz]

Do sprawdzenia jest czy:

\(\displaystyle{ \left( \forall A\in\mathcal{P} \left( \ZZ_+\right)\right) \left( \exists n\in\NN \right) ARn }\)

czyli mówiąc po ludzku czy dowolny podzbiór \(\displaystyle{ \ZZ_+}\) ma element najmniejszy? Wynika to z zasady minimum. Warunek drugi to:

\(\displaystyle{ \left( \forall A\in\mathcal{P} \left( \ZZ_+\right) ,n_1,n_2\in\NN\right) \left[ ARn_1 \ \wedge ARn_2 \ \Rightarrow n_1=n_2\right] }\)

Czyli czy element najmniejszy jest jednoznacznie wyznaczany przez zbiór \(\displaystyle{ A}\). Tak bo w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) nie może być dwóch różnych najmniejszych elementów, a jeśli dwa są najmniejsze to są sobie równe. Pytanie o suriekcję to pytanie czy:

\(\displaystyle{ \left( \forall n\in\NN \right) \left( \exists A\in\mathcal{P}\left( \ZZ_+\right) \right) ARn }\)

Ustal zatem \(\displaystyle{ n\in\NN}\) i zauważ, że świadkiem na to, że \(\displaystyle{ ARn}\) jest zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ n\right\} }\) wszak jego element najmniejszy to \(\displaystyle{ n}\) zatem \(\displaystyle{ \left\{ n\right\} Rn}\).

Dodano po 10 minutach 25 sekundach:
Chociaż mogłem się pospieszyć... jeśli przez \(\displaystyle{ \NN}\) rozumiesz \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,3,...\right\} }\) to nie to samo co \(\displaystyle{ \ZZ_+=\left\{ 1,2,3,...\right\} }\) to funkcja ta nie jest suriekcją bo nie istnieje taki podzbiór \(\displaystyle{ \ZZ_+}\) którego minimalnym elementem jest \(\displaystyle{ 0}\). Ale jeśli \(\displaystyle{ \NN=\ZZ_+}\) to funkcja jest suriekcją.

[Dasio11]

Ta relacja w żadnym wypadku nie jest funkcją, bo w zbiorze pustym nie istnieje element najmniejszy.

[Janusz Tracz]

Faktycznie o tym nie pomyślałem. Dziękuję

[Jan Kraszewski]

Ta relacja w żadnym wypadku nie jest funkcją, bo w zbiorze pustym nie istnieje element najmniejszy.

No chyba, że dopuszczamy funkcje częściowe. Trzeba ustalić, jaką definicją funkcji posługuje się pytający. Jeżeli utożsamia funkcję z relacją prawostronnie jednoznaczną, to wtedy jest to funkcja.

JK

[Dasio11]

Racja.