Transformacje Mobiusa
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Transformacje Mobiusa
Witam,
próbuję uustalić w jaki sposób z:
\(\displaystyle{ M(z) = \frac{az+b}{cz+b}}\)
wyznaczono nastepujace transformacje:
\(\displaystyle{ z \mapsto z+\frac{d}{c}}\) (translacja)
\(\displaystyle{ z \mapsto \frac{1}{z}}\) (inwersja)
czy:
\(\displaystyle{ z \mapsto \frac{ad-bc}{c^2}}\) (rozciagniecie oraz obrót)
Szczegolnie ta ostatnia jest interesująca. Tak więc w jaki sposób z równania (1) wyznaczyć np. (4)?
Dziękuję
próbuję uustalić w jaki sposób z:
\(\displaystyle{ M(z) = \frac{az+b}{cz+b}}\)
wyznaczono nastepujace transformacje:
\(\displaystyle{ z \mapsto z+\frac{d}{c}}\) (translacja)
\(\displaystyle{ z \mapsto \frac{1}{z}}\) (inwersja)
czy:
\(\displaystyle{ z \mapsto \frac{ad-bc}{c^2}}\) (rozciagniecie oraz obrót)
Szczegolnie ta ostatnia jest interesująca. Tak więc w jaki sposób z równania (1) wyznaczyć np. (4)?
Dziękuję
Ostatnio zmieniony 14 cze 2020, o 16:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34335
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Transformacje Mobiusa
Naprawdę łatwiej by Ci było pomagać, gdybyś formułował swoje pytania w sposób precyzyjny.Mondo pisze: ↑14 cze 2020, o 15:35w jaki sposób z:
\(\displaystyle{ M(z) = \frac{az+b}{cz+b}}\)
wyznaczono nastepujace transformacje:
\(\displaystyle{ z \mapsto z+\frac{d}{c}}\) (translacja)
\(\displaystyle{ z \mapsto \frac{1}{z}}\) (inwersja)
czy:
\(\displaystyle{ z \mapsto \frac{ad-bc}{c^2}}\) (rozciagniecie oraz obrót)
Co masz na myśli pisząc, że z jednej transformacji wyznaczono jakieś trzy inne? W matematyce wyznaczanie jednego obiektu z innego ma sens tylko w takim kontekście, gdy ten pierwszy obiekt jednoznacznie zależy od drugiego w jawnie określony sposób. Na przykład: wyznaczanie pierwiastków równania \(\displaystyle{ 4x^2+4x+1 = 0}\) oznacza wypisanie wszystkich liczb \(\displaystyle{ x}\), które spełniają to równanie. Nie ma sensu "wyznaczanie liczb z równania", jeśli nie doprecyzuje się, że te liczby mają być jego pierwiastkami.
Inny przykład niejasnego pytania: jak wyznaczono zbiór \(\displaystyle{ (1, \infty)}\) z funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}}\)? Poprawnie zadanie pytanie: w jaki sposób dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}}\) wyznaczono dziedzinę naturalną \(\displaystyle{ (1, \infty)}\)?
A więc: w jaki sposób te trzy transformacje mają zależeć od \(\displaystyle{ M(z)}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Transformacje Mobiusa
Tak, powinno być \(\displaystyle{ z \mapsto - \frac{(ad-bc)z}{c^2}}\). Nie mogę już poprawić pierwszego posta także będę wdzięczy za wykonanie poprawki w moim imieniu, przepraszam.
Staram się precyzyjnie zadawać pytania natomiast tutaj brakuje mi jakiegoś punktu zaczepienia. Generalnie powołuję się tutaj na ten cytat:
Kod: Zaznacz cały
https://i.paste.pics/fafd572027336015ebfb8fc472b692a3.png
cytuję:
Więc tłumacząc odebrałem to tak, że \(\displaystyle{ M(z)}\) zostało w jakiś sposób tak przekształcone, że można z niego otrzymać te 4 wspomniane transformacje.let us decompose \(\displaystyle{ M(z) }\) into the following sequence of transformation ....
No tak, ale to chyba nie jest cytat ze mnie?Dasio11 pisze: ↑14 cze 2020, o 18:03 Inny przykład niejasnego pytania: jak wyznaczono zbiór \(\displaystyle{ (1, \infty)}\) z funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}}\)? Poprawnie zadanie pytanie: w jaki sposób dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}}\) wyznaczono dziedzinę naturalną \(\displaystyle{ (1, \infty)}\)?
@Dasio11, no właśnie to jest moje pytanie. Z tekstu który zacytowałem wynika, że właśnie te transformacje zostały wyznaczone z \(\displaystyle{ M(z)}\)
Ostatnio zmieniony 14 cze 2020, o 19:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34335
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Transformacje Mobiusa
No to źle przetłumaczyłeś. Chodzi o to, że złożenie tych czterech przekształceń daje przekształcenie Moebiusa, co możesz sobie sam przerachować.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Transformacje Mobiusa
Ok dziękuję za wyjaśnienie. Myślę, że dobrze przetłumaczyłem a komentarz w książce był troche "lakoniczny".
Mam jednak takie pytanie co do inversji \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\) oraz rysunku
Napisano takie równanie: (\(\displaystyle{ [\widetilde{a}\widetilde{b}]}\)) oznacza gługość pomiedzy punktami \(\displaystyle{ \widetilde{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \widetilde{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{[\widetilde{a}\widetilde{b}]}{[ab]} = \frac{[q \widetilde{b}]}{[qa]} }\)
Zupełnie nie wdzię tego stosunku, z czego on wynika?
Dla mnie \(\displaystyle{ \frac{[\widetilde{a}\widetilde{b}]}{[ab]}}\) odpowiada stosunkowi \(\displaystyle{ \frac{[qb]}{[q\widetilde{b}]}}\)
Mam jednak takie pytanie co do inversji \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\) oraz rysunku
Kod: Zaznacz cały
https://i.paste.pics/b8803c8044cd371dc4f355e002f78b45.png
Napisano takie równanie: (\(\displaystyle{ [\widetilde{a}\widetilde{b}]}\)) oznacza gługość pomiedzy punktami \(\displaystyle{ \widetilde{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \widetilde{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{[\widetilde{a}\widetilde{b}]}{[ab]} = \frac{[q \widetilde{b}]}{[qa]} }\)
Zupełnie nie wdzię tego stosunku, z czego on wynika?
Dla mnie \(\displaystyle{ \frac{[\widetilde{a}\widetilde{b}]}{[ab]}}\) odpowiada stosunkowi \(\displaystyle{ \frac{[qb]}{[q\widetilde{b}]}}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Transformacje Mobiusa
Z Twojego posta nie wynika, w jakiej relacji jest \(\displaystyle{ M(z)}\) do pozostałych transformacji. W książce zaś jest jawnie napisane, że te transformacje stanowią rozkład \(\displaystyle{ M(z)}\), czyli jest w niej dokładnie to, czego w Twoim poście brakuje.
Odnośnie pytania: z równości trzech kątów wynika, że trójkąty \(\displaystyle{ \triangle q \widetilde{a} \widetilde{b}}\) i \(\displaystyle{ \triangle q b a}\) są podobne, a to bezpośrednio implikuje, że stosunek długości odpowiadających boków jest taki sam.
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Transformacje Mobiusa
No ale jak to, napisałem wzór na \(\displaystyle{ M(z)}\) oraz kilka transformacji które z niego otrzymano i chciałem wiedzieć w jaki sposób. @Jan Kraszewski podpowiada, że:Dasio11 pisze: ↑15 cze 2020, o 19:36Z Twojego posta nie wynika, w jakiej relacji jest \(\displaystyle{ M(z)}\) do pozostałych transformacji. W książce zaś jest jawnie napisane, że te transformacje stanowią rozkład \(\displaystyle{ M(z)}\), czyli jest w niej dokładnie to, czego w Twoim poście brakuje.
Ale nie widze tego mówiąc szczerze. W jaki sposób miałbym je złożyć w równanie na \(\displaystyle{ M(z)}\)?Chodzi o to, że złożenie tych czterech przekształceń daje przekształcenie Moebiusa, co możesz sobie sam przerachować.
Tak to podobieństwo również widze podobnie jak stosunki odpowiednich boków. Zauważ jednak, że w równaniu które przytoczyłem, po jego prawej stronie mamy stosunek dwóch róznych boków! Czyżby literówka w tekscie?
-
- Administrator
- Posty: 34335
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Transformacje Mobiusa
W książce, którą pokazałeś, było napisane coś zupełnie innego - to nie te przekształcenia otrzymano z transformacji Moebiusa, tylko transformację Moebiusa otrzymany z tych przekształceń. Pomyliłeś kierunek wnioskowania...
Proszę:
Niech
\(\displaystyle{ f(z) = z+\frac{d}{c}\\
g(z)=\frac{1}{z}\\
h(z)=-\frac{ad-bc}{c^2}z\\
k(z)=z+\frac{a}{c}}\)
Wtedy transformację Moebiusa \(\displaystyle{ M(z) = \frac{az+b}{cz+b}}\) można zapisać jako
\(\displaystyle{ M=k\circ h\circ g \circ f}\),
czyli \(\displaystyle{ M(z) = k(h(g(f(z)))).}\) A to już możesz sobie sam sprawdzić rachując.
JK
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Transformacje Mobiusa
Literalnie rzecz biorąc zarzut jest dziwny, bo w trójkątach podobnych porównuje się ilorazy długości boków odpowiadających, a nie tylko równych - zresztą w drugim przypadku scenariusz byłby raczej nieciekawy, bo wynikiem dzielenia dwóch identycznych liczb jest zawsze jeden.
Zakładam więc, że miałeś na myśli, że po prawej stronie boki nie są odpowiadające. I odpowiadam: sprawdź jeszcze raz.
Podobieństwo z uwzględnieniem kolejności wierzchołków: \(\displaystyle{ \triangle q \widetilde{a} \widetilde{b} \sim \triangle q b a}\), czyli \(\displaystyle{ q \sim q, \widetilde{a} \sim b, \widetilde{b} \sim a}\).
Problematyczna równość: \(\displaystyle{ \frac{[\widetilde{a}\widetilde{b}]}{[ba]} = \frac{[q \widetilde{b}]}{[qa]} }\) (dla ułatwienia zmieniłem \(\displaystyle{ [ab]}\) na \(\displaystyle{ [ba]}\), co oczywiście nie wpływa na wynik).
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Transformacje Mobiusa
Dziękuję ale będę sie upierał, że się nie pomyliłem w tym wnioskowaniu / tłumaczeniuJan Kraszewski pisze: ↑16 cze 2020, o 01:40W książce, którą pokazałeś, było napisane coś zupełnie innego - to nie te przekształcenia otrzymano z transformacji Moebiusa, tylko transformację Moebiusa otrzymany z tych przekształceń. Pomyliłeś kierunek wnioskowania...
co ja tłumaczę takAs a first step towards making sense of (1), let us decompose \(\displaystyle{ M(z)}\) [exercise] into the following sequence of operations
Tak więc odebrałem te to tak, że te cztery równania można otrzymać poprzez przekształcenie \(\displaystyle{ M(z)}\)..no bo jak inaczej? Co więcej użycie słowa "exercise/ćwiczenie" sugeruje, że mamy sobie to "przećwiczyć".Jako pierwszy ktok do zrozumienia równania (1) przekształcamy\(\displaystyle{ M(z)}\) [ćwiczenie] na następujące równania
Nie wiem, może to nie jest aż tak istotne ale ciekawa sprawa, że odbieracie to inaczej...wydaje mi się, że fakt iż znacie już temat nie jest tutaj bez znaczenia.
Sprawdziłem to ale nie jest tak łatwo niestety. Doszedłem do postaci:Jan Kraszewski pisze: ↑16 cze 2020, o 01:40Proszę:
Niech
\(\displaystyle{ f(z) = z+\frac{d}{c}\\
g(z)=\frac{1}{z}\\
h(z)=-\frac{ad-bc}{c^2}z\\
k(z)=z+\frac{a}{c}}\)
Wtedy transformację Moebiusa \(\displaystyle{ M(z) = \frac{az+b}{cz+b}}\) można zapisać jako
\(\displaystyle{ M=k\circ h\circ g \circ f}\),
czyli \(\displaystyle{ M(z) = k(h(g(f(z)))).}\) A to już możesz sobie sam sprawdzić rachując.
JK
\(\displaystyle{ M(z) = \frac{d(ad-bc)}{c^2\cdot cd} + \frac{cd(ad-bc)}{c^2\cdot cd} + \frac{dcz(a)}{c^2\cdot cd}}\)
Nie bardzo wiem jak to dalej przekształcić, jakaś podpowiedź?
Dzięki @Dasio11. Już wiem co jest problemem, nie ta nierówności ale to, że te trójkąty które rozpisałeś są podobne. Co ciekawe w książce jest to rozpisane nieco inaczej - tam trójkatmi podobnymi są:Dasio11 pisze: ↑16 cze 2020, o 09:38
Podobieństwo z uwzględnieniem kolejności wierzchołków: \(\displaystyle{ \triangle q \widetilde{a} \widetilde{b} \sim \triangle q b a}\), czyli \(\displaystyle{ q \sim q, \widetilde{a} \sim b, \widetilde{b} \sim a}\).
Problematyczna równość: \(\displaystyle{ \frac{[\widetilde{a}\widetilde{b}]}{[ba]} = \frac{[q \widetilde{b}]}{[qa]} }\) (dla ułatwienia zmieniłem \(\displaystyle{ [ab]}\) na \(\displaystyle{ [ba]}\), co oczywiście nie wpływa na wynik).
\(\displaystyle{ \triangle aqb \sim \triangle \widetilde{b}q\widetilde{a}}\)
Generalnie trójkątami podobnymi sa te które mają te same kąty oraz stosunki odpowiednich boków są takie same. Czy możemy to powiedzieć o trójkątach z powyżej relacji? Nie sądzę bo patrząc na ten rysunek widzę, że kąty są różne, a nawet biorąc pod uwagę, że rysunek jest tylko poglądowy to jak można by udowodnić, ze te kąty są faktycznie takie same?
@Dasio11 wracając do podobieństwa, które ty rozpisałeś poprzez:
\(\displaystyle{ \triangle q \widetilde{a} \widetilde{b} \sim \triangle q b a}\)
Gdybyśmy byli w stanie udowodnić, że te trójkąty są faktycznie podobne to wtedy ta "problematyczna nierówność" przestaje nią być i wszystko staje się jasne. Tak więc pytania są dwa. Dlaczego w książce jako trójkąty podobne wyznaczono te o wspólbnym wierzchołku w punkcie 'q' (inne niż w Twojej relacji) oraz jak udowodnić to podobieństwo?
Załączam teks oryginalny
Kod: Zaznacz cały
https://i.paste.pics/9aee78331a5c83b73a8e85a20d3959fb.png
-
- Administrator
- Posty: 34335
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Transformacje Mobiusa
No to źle tłumaczysz.Mondo pisze: ↑17 cze 2020, o 21:24Dziękuję ale będę sie upierał, że się nie pomyliłem w tym wnioskowaniu / tłumaczeniu
co ja tłumaczę takAs a first step towards making sense of (1), let us decompose \(\displaystyle{ M(z)}\) [exercise] into the following sequence of operationsJako pierwszy ktok do zrozumienia równania (1) przekształcamy \(\displaystyle{ M(z)}\) [ćwiczenie] na następujące równania
Nie "przekształcamy \(\displaystyle{ M(z)}\) na następujące równania" tylko "rozkładamy \(\displaystyle{ M(z)}\) na ciąg następujących przekształceń".
Zapewniam Cię, że z matematycznego punktu widzenia to tłumaczenie jest oczywiste: rozkładasz \(\displaystyle{ M(z)}\) na złożenie podanych czterech przekształceń, co jest pozostawione dla Ciebie jako proste ćwiczenie.Mondo pisze: ↑17 cze 2020, o 21:24Tak więc odebrałem te to tak, że te cztery równania można otrzymać poprzez przekształcenie \(\displaystyle{ M(z)}\)..no bo jak inaczej? Co więcej użycie słowa "exercise/ćwiczenie" sugeruje, że mamy sobie to "przećwiczyć".
Nie wiem, może to nie jest aż tak istotne ale ciekawa sprawa, że odbieracie to inaczej...wydaje mi się, że fakt iż znacie już temat nie jest tutaj bez znaczenia.
Nie wiem, jak Ty to przekształcasz, ale to są naprawdę proste przekształcenia algebraiczne na poziomie gimnazjum:
\(\displaystyle{ f(z) = z+\frac{d}{c}\\
g(f(z))=\frac{1}{f(z)}=\frac{1}{z+\frac{d}{c}}=\frac{c}{cz+d}\\
h(g(f(z)))=-\frac{ad-bc}{c^2}g(f(z))=-\frac{ad-bc}{c^2}\cdot \frac{c}{cz+d}=-\frac{ad-bc}{c\cdot(cz+d)}\\
k(h(g(f(z))))=h(g(f(z)))+\frac{a}{c}=-\frac{ad-bc}{c\cdot(cz+d)}+\frac{a}{c}=\frac{bc-ad+a\cdot(cz+d)}{c\cdot(cz+d)}=\frac{bc-ad+acz+ad)}{c\cdot(cz+d)}=\frac{bc+acz}{c\cdot(cz+d)}=\frac{b+az}{cz+d}}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22233
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Transformacje Mobiusa
Nie upieraj sięMondo pisze: ↑17 cze 2020, o 21:24Dziękuję ale będę sie upierał, że się nie pomyliłem w tym wnioskowaniu / tłumaczeniuJan Kraszewski pisze: ↑16 cze 2020, o 01:40W książce, którą pokazałeś, było napisane coś zupełnie innego - to nie te przekształcenia otrzymano z transformacji Moebiusa, tylko transformację Moebiusa otrzymany z tych przekształceń. Pomyliłeś kierunek wnioskowania...
Tam jest napisane, że rozkładamy `M` na ciąg przekształceń (działań, operacji) a nie równań. Żeby to zrozumieć, trzeba wiedzieć na czym polega składanie przekształceńco ja tłumaczę takAs a first step towards making sense of (1), let us decompose \(\displaystyle{ M(z)}\) [exercise] into the following sequence of operationsTak więc odebrałem te to tak, że te cztery równania można otrzymać poprzez przekształcenie \(\displaystyle{ M(z)}\)..no bo jak inaczej? Co więcej użycie słowa "exercise/ćwiczenie" sugeruje, że mamy sobie to "przećwiczyć".Jako pierwszy ktok do zrozumienia równania (1) przekształcamy\(\displaystyle{ M(z)}\) [ćwiczenie] na następujące równania
Nie wiem, może to nie jest aż tak istotne ale ciekawa sprawa, że odbieracie to inaczej...wydaje mi się, że fakt iż znacie już temat nie jest tutaj bez znaczenia.
Tutaj dobrze widać, że nie wiesz jak sie składa przekształcenia. Spróbuj może najpierw powiedzieć czym jest \(g\circ f(z)\) .Sprawdziłem to ale nie jest tak łatwo niestety. Doszedłem do postaci:Jan Kraszewski pisze: ↑16 cze 2020, o 01:40Proszę:
Niech
\(\displaystyle{ f(z) = z+\frac{d}{c}\\
g(z)=\frac{1}{z}\\
h(z)=-\frac{ad-bc}{c^2}z\\
k(z)=z+\frac{a}{c}}\)
Wtedy transformację Moebiusa \(\displaystyle{ M(z) = \frac{az+b}{cz+b}}\) można zapisać jako
\(\displaystyle{ M=k\circ h\circ g \circ f}\),
czyli \(\displaystyle{ M(z) = k(h(g(f(z)))).}\) A to już możesz sobie sam sprawdzić rachując.
JK
\(\displaystyle{ M(z) = \frac{d(ad-bc)}{c^2\cdot cd} + \frac{cd(ad-bc)}{c^2\cdot cd} + \frac{dcz(a)}{c^2\cdot cd}}\)
Nie bardzo wiem jak to dalej przekształcić, jakaś podpowiedź?
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Transformacje Mobiusa
@Jan Kraszewski, ahh tak zrobiłem głupi błąd przy pierwszym przekształceniu \(\displaystyle{ g(f(z))}\) teraz wszystko ładnie wychodzi. Bardzo dziękuję!
Ostatnia rzecz jaka została do wyjaśnienia to kwestia tych trójkątów podobnnych. @Dasio11 jesteś w stanie pomóc tutaj?
Ostatnia rzecz jaka została do wyjaśnienia to kwestia tych trójkątów podobnnych. @Dasio11 jesteś w stanie pomóc tutaj?