Funkcja „borelowska” vs. funkcja mierzalna.

[Zaratustra]

Wybaczcie, googlanie „funkcji borelowskich” wszędzie odsyła do „mierzalnych”; dotychczasowe materiały od prowadzącego zajęcia również sugerowały, jakoby te pojęcia były tożsame to się nie przejmowałem; ale zdaje mi się (doczytując ostatnie materiały nadesłane przed egzaminem), że to nie jest synonim...

Przewertowałem skorowidze paru książek na podorędziu i nic, więc prosiłbym: najpowszechniejsze definicje tych pojęć (bo może po prostu nam sprzedano jakąś szczególną, równoważną na zajęciach i się nie połapię.), jakieś porównanie własności, celowość wyróżniania tych „borelowskich” etc. (kontekst: przerabiam prawdopodobieństwo, na analizie takie pojęcie się nie pojawiło nigdzie)

Z góry dziękuję

[timon92]

Ogólna definicja mierzalności: powiedzmy że mamy przestrzenie \(X\) i \(Y\) wyposażone w jakieś \(\sigma\)-ciała \(\mathfrak M\) i \(\mathfrak N\), odpowiednio. Mówimy, że funkcja \(f\colon X \to Y\) jest mierzalna, jeśli dla dowolnego zbioru \(A \in \mathfrak N\) jego przeciwobraz \(f^{-1}(A)\) jest w \(\sigma\)-ciele \(\mathfrak M\). Czasami zamiast \(f \colon X \to Y\) pisze się \(f\colon (X,\mathfrak M) \to (Y, \mathfrak N)\) aby podkreślić, w jakie \(\sigma\)-ciała wyposażone są przestrzenie \(X\) i \(Y\).

W praktyce \(X\) jest zazwyczaj przestrzenią wyposażoną w jakąś miarę \(\mu\), a \(\mathfrak M\) jest \(\sigma\)-ciałem zbiorów \(\mu\)-mierzalnych, (np. na zajęciach z analizy zapewne badaliście \(X=\mathbb R^d\) z miarą Lebesgue'a), zaś \(Y\) to zazwyczaj \(\mathbb R\) lub \(\mathbb C\), a \(\mathfrak N\) --- \(\sigma\)-ciało zbiorów borelowskich w \(Y\). Termin "funkcja mierzalna" zazwyczaj odnosi się do takiej sytuacji.

Zaś funkcja borelowska to po prostu funkcja mierzalna \(f \colon (X,\mathfrak M) \to (Y,\mathfrak N)\) gdzie \(\mathfrak M\) jest \(\sigma\)-ciałem zbiorów borelowskich w \(X\). To znaczy: przeciwobrazy zbiorów \(A \in \mathfrak N\) są borelowskimi podzbiorami \(X\).

[Gosda]

Notacja i definicje z mojego wykładu teorii miary, nie wszyscy muszą mieć takie same

Funkcja \(\mathcal A,\mathcal B\)-mierzalna: przeciwobraz każdego generatora sigma ciała \(\mathcal B\) należy do sigma ciała \(\mathcal A\).

Funkcja rzeczywista: \(\mathbb R \to \mathbb R\), mierzalna, gdzie \(\mathcal A\) - sigma ciało Lebesgue'a, \(\mathcal B\) - sigma ciało Borela.

Funkcja borelowska: mierzalna, między dowolnymi przestrzeniami topologicznymi, gdzie \(\mathcal A\) - sigma ciało Borela, \(\mathcal B\) - rodzina zbiorów otwartych (niekoniecznie sigma ciało generowane przez nie, patrz

Kod: Zaznacz cały

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Borel_function

)

[Dasio11]

Funkcja borelowska: mierzalna, między dowolnymi przestrzeniami topologicznymi, gdzie \(\mathcal A\) - sigma ciało Borela, \(\mathcal B\) - rodzina zbiorów otwartych (niekoniecznie sigma ciało generowane przez nie, patrz

Kod: Zaznacz cały

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Borel_function

)

Gdy \(\displaystyle{ f : X \to Y}\) jest dowolną funkcją między przestrzeniami topologicznymi, to zachodzi równoważność:

Przeciwobraz każdego otwartego podzbioru \(\displaystyle{ Y}\) jest borelowski \(\displaystyle{ \iff}\) przeciwobraz każdego borelowskiego podzbioru \(\displaystyle{ Y}\) jest borelowski.

Z tego powodu niezbyt sensowne wydaje mi się podkreślanie, że \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) może być rodziną zbiorów otwartych, a niekoniecznie borelowskich, bo z dokładnością do równoważności jest to taka sama definicja. Co więcej: przy zacytowanym sformułowaniu \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) musi oznaczać rodzinę zbiorów borelowskich, bo zbiory otwarte nie zawsze tworzą \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało (a podana przez Ciebie definicja mierzalności zakłada, że dane są dwa \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała).

Z podobnych powodów poniższa definicja:

Funkcja \(\mathcal A,\mathcal B\)-mierzalna: przeciwobraz każdego generatora sigma ciała \(\mathcal B\) należy do sigma ciała \(\mathcal A\).

jest równoważna takiej, że funkcja jest \(\displaystyle{ (\mathcal{A}, \mathcal{B})}\)-mierzalna, gdy przeciwobraz każdego elementu \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) należy do \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\).

[Zaratustra]

Dzięki wam wielkie! Spróbuję wypracować jak to gra w kontekście tych wywodów, które mam do przerobienia