całka krzywoliniowa
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 7 maja 2020, o 16:53
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
całka krzywoliniowa
potrzebuję obliczyc całke wyznaczając potencjał oraz całkując po odcinku
\(\displaystyle{ \int_{ab}^{}(3x-y+1)dx - (x+4y+2)dy }\) a=(-1,2), b=(0,1)
U= \(\displaystyle{ \int_{ab}^{}(3x-y+1)dx \frac{3}{2}x ^{2} -xy +x }\) oraz U= \(\displaystyle{ \int_{}^{}- (x+4y+2)dy =-xy-2y ^{2} -2y}\)
wynik ma być \(\displaystyle{ \frac{11}{2} }\) ale biorąc pod uwagę że wzór to \(\displaystyle{ \int_{}^{} Pdx+Qdy= U(b)-U(a)}\) to to taki wynik w ogóle mi nie wychodzi
i nie wiem co dalej
\(\displaystyle{ \int_{ab}^{}(3x-y+1)dx - (x+4y+2)dy }\) a=(-1,2), b=(0,1)
U= \(\displaystyle{ \int_{ab}^{}(3x-y+1)dx \frac{3}{2}x ^{2} -xy +x }\) oraz U= \(\displaystyle{ \int_{}^{}- (x+4y+2)dy =-xy-2y ^{2} -2y}\)
wynik ma być \(\displaystyle{ \frac{11}{2} }\) ale biorąc pod uwagę że wzór to \(\displaystyle{ \int_{}^{} Pdx+Qdy= U(b)-U(a)}\) to to taki wynik w ogóle mi nie wychodzi
i nie wiem co dalej
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4085
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1398 razy
Re: całka krzywoliniowa
Zatem do zrobienia są dwie rzeczy. Należy osobno policzyć całkę po odcinku oraz osobno korzystając z potencjału. Wyniki oczywiście musza wyjść te same. Proponuję zacząć od potencjału i aktualnie tylko na tym się skupić.
Po pierwsze należy sprawdzić czy w ogóle pole wektorowe jest potencjalne czyli innymi słowy czy w ogóle istnieje funkcja potencjału. Jak to zrobić? Co jest warunkiem potencjalności pola? Potem jeśli okaże się, że istnieje funkcja potencjału \(\displaystyle{ U}\) (to wynika z twoich oznaczeń) to trzeba ją znaleźć nie ma to natomiast nic wspólnego z tym:
Dopiero gdy wyznaczysz potencjał \(\displaystyle{ U}\) to skorzystaj ze wzoru:
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 7 maja 2020, o 16:53
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Re: całka krzywoliniowa
Po pierwsze należy sprawdzić czy w ogóle pole wektorowe jest potencjalne czyli innymi słowy czy w ogóle istnieje funkcja potencjału. Jak to zrobić? Co jest warunkiem potencjalności pola? Potem jeśli okaże się, że istnieje funkcja potencjału \(\displaystyle{ U}\) (to wynika z twoich oznaczeń) to trzeba ją znaleźć nie ma to natomiast nic wspólnego z tym:
pole jest potencjalne ponieważ \(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{ \partial y} =-1 i \frac{ \partial Q}{ \partial x} =-1}\)
więc jak wyznaczyć potencjał U
Dopiero gdy wyznaczysz potencjał \(\displaystyle{ U}\) to skorzystaj ze wzoru:
[/quote]
pole jest potencjalne ponieważ \(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{ \partial y} =-1 i \frac{ \partial Q}{ \partial x} =-1}\)
więc jak wyznaczyć potencjał U
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4085
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1398 razy
Re: całka krzywoliniowa
Dobrze.
Potencjał to taka funkcja skalarna tu \(\displaystyle{ U(x,y)}\), że jej gradient daje pole wektorowe czyli:
\(\displaystyle{ \nabla U= \left[ P,Q\right] }\)
czyli
\(\displaystyle{ \left[ \frac{ \partial U}{ \partial x} ,\frac{ \partial U}{ \partial y} \right] = \left[ 3x -y+1 , -x-4y-2 \right] }\)
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial U}{ \partial x} = 3x -y+1 \\ \frac{ \partial U}{ \partial y} = -x-4y-2 \end{cases} }\)
wyznacz \(\displaystyle{ U(x,y)}\) które spełnia powyższy układ.
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 7 maja 2020, o 16:53
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Re: całka krzywoliniowa
Dodano po 9 minutach 2 sekundach:
czyli U=[ -4,-6]?Janusz Tracz pisze: ↑1 cze 2020, o 13:48Dobrze.Potencjał to taka funkcja skalarna tu \(\displaystyle{ U(x,y)}\), że jej gradient daje pole wektorowe czyli:
\(\displaystyle{ \nabla U= \left[ P,Q\right] }\)
czyli
\(\displaystyle{ \left[ \frac{ \partial U}{ \partial x} ,\frac{ \partial U}{ \partial y} \right] = \left[ 3x -y+1 , -x-4y-2 \right] }\)
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial U}{ \partial x} = 3x -y+1 \\ \frac{ \partial U}{ \partial y} = -x-4y-2 \end{cases} }\)
wyznacz \(\displaystyle{ U(x,y)}\) które spełnia powyższy układ.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4085
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1398 razy
Re: całka krzywoliniowa
Nie. Skąd taki pomysł? Potencjał to jest funkcja skalarna. Scałkuj pierwsze równanie po \(\displaystyle{ x}\) i podstaw do drugiego.
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 7 maja 2020, o 16:53
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Re: całka krzywoliniowa
jak scałkuje pierwsze po x to będzie \(\displaystyle{ \frac{3}{2} x^{2}-xy+x }\) a jak je podstawiam to po prostu \(\displaystyle{ \frac{3}{2} x^{2}-xy+x }\)+(-x-4y+2) bo nie za bardzo jak mam je podstwićJanusz Tracz pisze: ↑1 cze 2020, o 14:11 Nie. Skąd taki pomysł? Potencjał to jest funkcja skalarna. Scałkuj pierwsze równanie po \(\displaystyle{ x}\) i podstaw do drugiego.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4085
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1398 razy
Re: całka krzywoliniowa
Ale co to jest? Poza tym to nie jest scałkowane poprawnie. Jak scałkujesz to masz \(\displaystyle{ U(x,y)= \frac{3}{2} x^{2}-xy+x +C(y)}\). I to jest dopiero potencjał wyznaczony co do stałej zależnej od \(\displaystyle{ y}\).
Bo nie napisałaś co to jest. Teraz gdy już wiesz, że to \(\displaystyle{ U}\) to to \(\displaystyle{ U}\) podstaw do drugiego równania i wyznacz \(\displaystyle{ C(y)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 7 maja 2020, o 16:53
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Re: całka krzywoliniowa
C(y)=-2x-4y+2-\(\displaystyle{ \frac{3}{2} x ^{2} }\)+ xy ?Bo nie napisałaś co to jest. Teraz gdy już wiesz, że to [latex pisze:U[/latex] to to \(\displaystyle{ U}\) podstaw do drugiego równania i wyznacz \(\displaystyle{ C(y)}\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4085
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1398 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 7 maja 2020, o 16:53
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy