Witam.
Czy istnieje sposób na obliczenie całek typu:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(a^2+x^2)^{3\over2}} }\) bez podstawień trygonometrycznych?
Całka bez podstawień trygonometrycznych
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4090
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22247
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3762 razy
Re: Całka bez podstawień trygonometrycznych
Tu działa taka fajna magia:
\(\displaystyle{ \blue{\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^{1/2}}}=\int \frac{a^2+x^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}dx=\red{\int \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}dx}+\int \frac{x^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}dx= (*)}\)
Zajmiemy sie tą ostatnią całką: \begin{vmatrix}u=x& v'=\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}\\u'=1& v=-\frac{1}{(a^2+x^2)^{1/2}}\end{vmatrix}
\(\displaystyle{ (*)\ =\red{\int \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}dx}-\frac{x}{(a^2+x^2)^{1/2}}+\blue{\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^{1/2}}}}\)
I teraz niebieskie znika (a raczej zostawia stałą), a czerwone się wylicza
\(\displaystyle{ \blue{\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^{1/2}}}=\int \frac{a^2+x^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}dx=\red{\int \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}dx}+\int \frac{x^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}dx= (*)}\)
Zajmiemy sie tą ostatnią całką: \begin{vmatrix}u=x& v'=\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}\\u'=1& v=-\frac{1}{(a^2+x^2)^{1/2}}\end{vmatrix}
\(\displaystyle{ (*)\ =\red{\int \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}dx}-\frac{x}{(a^2+x^2)^{1/2}}+\blue{\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^{1/2}}}}\)
I teraz niebieskie znika (a raczej zostawia stałą), a czerwone się wylicza