Hej,
utknąłem w zadaniu i proszę o pomoc:
"Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ b}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ 5a\left( a+b\right) \ge -b\left( 9b+7a\right).}\)"
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 5a\left( a+b\right) \ge -b\left( 9b+7a\right)}\)
\(\displaystyle{ 5a\left( a+b\right) + b\left( 9b+7a\right) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 5a^{2}+5ab+9b ^{2}+7ab \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b ^{2} \ge 0 }\)
W tym momencie zacząłem liczyć deltę
\(\displaystyle{ \Delta=b ^{2}-4ac }\)
\(\displaystyle{ \Delta=144-180}\)
Delta wychodzi ujemna więc nie ma rozwiązań. Ale wydaję mi się, że jeśli mam coś wykazać to założenie jest prawdziwe, dobrze pamiętam? Jeśli tak, to prosiłbym o jakieś wskazówki gdzie popełniam błąd.
Pozdrawiam
Prawdziwość nierówności
-
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 16 maja 2020, o 13:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 20 razy
Prawdziwość nierówności
Ostatnio zmieniony 22 maja 2020, o 22:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania. Poprawa wiadomości.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania. Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34125
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Prawdziwość nierówności
A jakżeż Ty tą deltę policzyłeś? Bo to dość magicznie wygląda.
Zanim zaczniesz cokolwiek liczyć, musisz ustalić, który z symboli \(\displaystyle{ a,b}\) oznacza zmienną, a który parametr.
Inna sprawa, że liczenie delty to nie jest najlepszy pomysł. Zamiast tego lepiej podzielić tę sumę na dwie części: \(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b ^{2} = (4a^{2}+12ab+9b ^{2})+a^2 }\) i coś zauważyć.
Przypominam, że to, co masz wykazać, to nie założenie, tylko teza. I tak, w poprawnie ułożonym zadaniu "Udowodnij, że..." teza jest prawdziwa.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 16 maja 2020, o 13:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 20 razy
Re: Prawdziwość nierówności
Już tłumaczę:Jan Kraszewski pisze: ↑22 maja 2020, o 22:12 A jakżeż Ty tą deltę policzyłeś? Bo to dość magicznie wygląda.
\(\displaystyle{
b ^{2}-4ac=12 \cdot 12-4 \cdot 9 \cdot 5=144-180=-36
}\)
Dlatego też napisałem że delta wyszła mi ujemna.
Faktycznie sprytnym zauważeniem wzoru skróconego mnożenia wychodzi bardzo łatwo, dziękuje.
Jednakże nie chciałbym iść drogą na skróty, chętnie bym przyjął jakieś wskazówki dlaczego delta mi wychodzi "magiczna"?
Tutaj też prosiłbym o jakieś słowo, czy to przypadkiem nie jest tak, że zmiennymi właśnie są a oraz b, natomiast parametrami są liczby które stoją przed nimi?Jan Kraszewski pisze: ↑22 maja 2020, o 22:12 Zanim zaczniesz cokolwiek liczyć, musisz ustalić, który z symboli a,b oznacza zmienną, a który parametr.
Dziękuję za poprawę i utwierdzenie z tezą!
Pozdrawiam
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Prawdziwość nierówności
W momencie, w którym doszedłeś do postaci \(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b^{2}\ge 0}\)
trochę nie jest jasne, jak liczysz tę deltę, że taka wychodzi. Masz tutaj dwie zmienne \(\displaystyle{ a,b}\) i wyjścia (jak nie chcesz zauważać zwinięcia do wzorów skróconego mnożenia) są dwa: albo jedną z \(\displaystyle{ a,b}\) traktujesz jako stałą i masz trójmian np. zmiennej \(\displaystyle{ a}\) z parametrem \(\displaystyle{ b}\), albo musisz się pozbyć jednej zmiennej. Pokażę oba podejścia:
1) trójmian zmiennej (dajmy na to) \(\displaystyle{ a}\) z parametrem \(\displaystyle{ b}\). Jak miałeś w szkole równania kwadratowe z parametrem, to powinno być jasne, że dla trójmianu \(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b^{2}}\) wyróżnik wynosi:
\(\displaystyle{ \Delta=144b^{2}-180b^{2}=-36b^{2}}\). Wyróżnik jest niedodatni, współczynnik przy \(\displaystyle{ a^{2}}\) jest dodatni, więc nierówność zachodzi.
2) Można również postąpić tak: jeśli \(\displaystyle{ b=0}\), to nierówność
\(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b^{2}\ge 0}\) sprowadza się do oczywistej \(\displaystyle{ 5a^{2}\ge 0}\), a gdy \(\displaystyle{ b\neq 0}\), to możemy podzielić nierówność stronami przez \(\displaystyle{ b^{2}}\), dostając równoważną nierówność
\(\displaystyle{ 5\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+12\frac{a}{b}+9\ge 0}\)
Teraz podstawmy \(\displaystyle{ x=\frac{a}{b}}\) i mamy trójmian zmiennej \(\displaystyle{ x}\).
trochę nie jest jasne, jak liczysz tę deltę, że taka wychodzi. Masz tutaj dwie zmienne \(\displaystyle{ a,b}\) i wyjścia (jak nie chcesz zauważać zwinięcia do wzorów skróconego mnożenia) są dwa: albo jedną z \(\displaystyle{ a,b}\) traktujesz jako stałą i masz trójmian np. zmiennej \(\displaystyle{ a}\) z parametrem \(\displaystyle{ b}\), albo musisz się pozbyć jednej zmiennej. Pokażę oba podejścia:
1) trójmian zmiennej (dajmy na to) \(\displaystyle{ a}\) z parametrem \(\displaystyle{ b}\). Jak miałeś w szkole równania kwadratowe z parametrem, to powinno być jasne, że dla trójmianu \(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b^{2}}\) wyróżnik wynosi:
\(\displaystyle{ \Delta=144b^{2}-180b^{2}=-36b^{2}}\). Wyróżnik jest niedodatni, współczynnik przy \(\displaystyle{ a^{2}}\) jest dodatni, więc nierówność zachodzi.
2) Można również postąpić tak: jeśli \(\displaystyle{ b=0}\), to nierówność
\(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b^{2}\ge 0}\) sprowadza się do oczywistej \(\displaystyle{ 5a^{2}\ge 0}\), a gdy \(\displaystyle{ b\neq 0}\), to możemy podzielić nierówność stronami przez \(\displaystyle{ b^{2}}\), dostając równoważną nierówność
\(\displaystyle{ 5\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+12\frac{a}{b}+9\ge 0}\)
Teraz podstawmy \(\displaystyle{ x=\frac{a}{b}}\) i mamy trójmian zmiennej \(\displaystyle{ x}\).
-
- Administrator
- Posty: 34125
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 16 maja 2020, o 13:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 20 razy
Re: Prawdziwość nierówności
Szczerze powiedziawszy wracam po dłuższym czasie do nauki i brzmi to trochę jak czarna magia, ale wydaje mi się, że jest tak dokładnie rozpisane że lepiej się nie da, więc zaraz będę to analizował. Dziękuje bardzo za pomoc!Premislav pisze: ↑25 maja 2020, o 00:12 W momencie, w którym doszedłeś do postaci \(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b^{2}\ge 0}\)
trochę nie jest jasne, jak liczysz tę deltę, że taka wychodzi. Masz tutaj dwie zmienne \(\displaystyle{ a,b}\) i wyjścia (jak nie chcesz zauważać zwinięcia do wzorów skróconego mnożenia) są dwa: albo jedną z \(\displaystyle{ a,b}\) traktujesz jako stałą i masz trójmian np. zmiennej \(\displaystyle{ a}\) z parametrem \(\displaystyle{ b}\), albo musisz się pozbyć jednej zmiennej. Pokażę oba podejścia:
1) trójmian zmiennej (dajmy na to) \(\displaystyle{ a}\) z parametrem \(\displaystyle{ b}\). Jak miałeś w szkole równania kwadratowe z parametrem, to powinno być jasne, że dla trójmianu \(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b^{2}}\) wyróżnik wynosi:
\(\displaystyle{ \Delta=144b^{2}-180b^{2}=-36b^{2}}\). Wyróżnik jest niedodatni, współczynnik przy \(\displaystyle{ a^{2}}\) jest dodatni, więc nierówność zachodzi.
2) Można również postąpić tak: jeśli \(\displaystyle{ b=0}\), to nierówność
\(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b^{2}\ge 0}\) sprowadza się do oczywistej \(\displaystyle{ 5a^{2}\ge 0}\), a gdy \(\displaystyle{ b\neq 0}\), to możemy podzielić nierówność stronami przez \(\displaystyle{ b^{2}}\), dostając równoważną nierówność
\(\displaystyle{ 5\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+12\frac{a}{b}+9\ge 0}\)
Teraz podstawmy \(\displaystyle{ x=\frac{a}{b}}\) i mamy trójmian zmiennej \(\displaystyle{ x}\).