Oblicz granicę funkcji

[Niepokonana]

Dzień dobry, proszę o pomoc, bo się pogubiłam.
Oblicz granicę funkcji w plus i minus nieskończoności. Dla plus nieskończoności ma wyjść nieskończoność, a dla minus nieskończoności zero.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} ( \sqrt{9x^{2}+1} +3x) =\lim_{x\to\infty} \frac{1}{ \sqrt{9x^{2}+1}-3x }=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x( \sqrt{9+ \frac{1}{x^{2}} }-1 )} }\)
No i to ma się nijak do nieskończoności... Ja tego nie rozumiem. Proszę o wyjaśnienie mi tych granic.

[a4karo]

To przekształcenie, które zastosowałaś to po prostu odruch Pawlowa : widzę sumę pierwiastków, to stosuje wzorek.

Spróbuj najpierw pomyśleć. To nigdy nie zaszkodzi.

[Premislav]

A jakbyś wywaliła tę część z pierwiastkiem, to jaka granica w \(\displaystyle{ +\infty}\) by wyszła?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} ( \sqrt{9x^{2}+1} +3x) =\lim_{x\to\infty} \frac{1}{ \sqrt{9x^{2}+1}-3x }=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x( \sqrt{9+ \frac{1}{x^{2}} }-1 )} }\)
No i to ma się nijak do nieskończoności... Ja tego nie rozumiem. Proszę o wyjaśnienie mi tych granic.

Licząc granicę w \(\displaystyle{ +\infty}\) niczego nie przekształcasz, bo w granicy

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} ( \sqrt{9x^{2}+1} +3x)}\)

masz sumę dwóch wyrażeń, z których każde dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\), więc ich suma też dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\).

Licząc granicę w \(\displaystyle{ -\infty}\) wykonujesz opisane przez Ciebie przekształcenie

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} ( \sqrt{9x^{2}+1} +3x) =\lim_{x\to\infty} \frac{1}{ \sqrt{9x^{2}+1}-3x }}\)

i liczysz granicę, która wynosi zero (bo w mianowniku masz sumę dwóch wyrażeń, z których każde dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\), więc ich suma też dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\)).

Natomiast nie jest prawdą, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{9x^{2}+1}-3x }=\frac{1}{x( \sqrt{9+ \frac{1}{x^{2}} }-1 )}}\).

JK

[Niepokonana]

To przekształcenie, które zastosowałaś to po prostu odruch Pawlowa : widzę sumę pierwiastków, to stosuje wzorek.

Spróbuj najpierw pomyśleć. To nigdy nie zaszkodzi.

No ja myślę, że jak mamy taki pierwiastek to on będzie co raz większy i \(\displaystyle{ 3x}\) też będzie co raz większe. Dlatego będą dążyć do nieskończoności. A dla minus nieskończoności mamy pierwiastek, który jest trochę większy od \(\displaystyle{ 3x}\). Będziemy zawsze mieli liczbę, która jest tylko trochę większa od zera i jest co raz mniejsza, dlatego zero jest granicą.

Panie a4karo, tych granic jest za dużo. W ciągach była tylko jedna granica, a teraz są granice w punktach ciągłości, nieciągłości, w nieskończoności... Ja już się pogubiłam i nie wiem, co do czego pasuje.
A poza tym myślenie boli.

Dodano po 2 minutach 15 sekundach:
Pan doktor napisał post, kiedy ja pisałam. Mimo wszystko dziękuję za pomoc. Dlaczego tych wszystkich granic jest tak dużo?

[a4karo]

Nie wiem, czy zauważyłaś, ale w zasadzie nie ma dużej różnicy między granicami ciągów i granicami funkcji. Większość granic "ciągowych" możesz robić tak samo jak "funkcyjnych" (zamiast `n` napisz `x`)

Granic jest potworne mnóstwo, ale wiele z nich znajduje się korzystając za standardowych metod - a tych jest kilka (no, może kilkanaście).

Nie próbuj uczyć się KAŻDEJ granicy z osobna, bo to nie ma sensu. Ucz sie metod.

Z tej granicy powinnaś wyciągnąć dwa wnioski:
1. najpierw pomyśl, zobacz z jakiego typu wyrażeniem masz do czynienia, a dopiero potem używaj "sztuczek"
2. Po raz kolejny spotykasz się z faktem, że `\sqrt{x^2}\ne x`. Pora, aby to weszło w krew - nie powinno sie dwa razy popełniać tego samego błedu.

[Niepokonana]

Granic jest potworne mnóstwo, ale wiele z nich znajduje się korzystając za standardowych metod - a tych jest kilka (no, może kilkanaście).

Nie próbuj uczyć się KAŻDEJ granicy z osobna, bo to nie ma sensu. Ucz sie metod.

Panie a4karo nie rozumiem, o co chodzi z tym uczeniem się metod? Nie każdy jest tak mądry jak Pan. To wszystko nie jest łatwe i nauka tego wymaga czasu, ale ja to mam umieć na środę, nie wiem dlaczego.

[a4karo]

Powiedz, czy jest jakaś różnica jakościowa między tymi zadaniami:

Oblicz granicę wyrażenia w nieskończoności
a `\sqrt{x^2+2}-\sqrt(x^2-1)`
b \(\sqrt[3]{x^6-2x^3+1}-x^2\)

metoda jest ta sama: zauważasz, że masz do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym typu \(\infty - \infty\), mnożysz przez sumę pierwiastków (chociaż ja akurat wolę zastosowac tw. Lagrange'a)

W granicach typu \(\displaystyle{ \sqrt[n]{7^n+2\cdot 4^n-2^n}}\) wyciągasz największą potęgę przed pierwiastek: to jest metoda. I działa niezaleznie od tego czy tam jest `7`, `2020` czy `e^\pi`

[Niepokonana]

Ja nie stosuję tego twierdzenia, bo nie wiem, co to znaczy różniczkowalna w przedziale.

A skąd Pan wie, że nie można w tych przypadkach po prostu stwierdzić, że granicą funkcji jest zero?

[a4karo]

Bo twoje zadanie to nie zgadnąć lecz obliczyć granicę.
A w drugim przypadku granica nie jest zero

[Niepokonana]

Ale na samym początku wątku Pan mi się kazał przyjrzeć zamiast za szybko stosować wzory. Ja już się pogubiłam.

[a4karo]

Bo ja się przyjrzałem i, zobaczyłem że mam symbol nieoznaczony. To znaczy, że muszę coś wykombinować.

I teraz dopiero stosuję któraś że znanych metod. A ty zaczęłaś od metody, mimo że nie było takiej potrzeby

[Niepokonana]

Czyli mam po prostu najpierw sprawdzić symbol i się zastanowić co dalej?

[Jan Kraszewski]

Zasada ogólna jest taka: najpierw myślisz, potem robisz, nigdy na odwrót.

JK

[Niepokonana]

Ale ja nie umiem myśleć, myślenie mi nie wychodzi. Dlaczego to wszystko jest takie trudne? Nie mogłoby być proste?