odleglosc punktu m od wierzcholka w trojkacie / ekstremum

[zxc18]

Mam problem z czyms takim:

W trójkącie o wierzchołkach \(\displaystyle{ A = (−1, 5), B = (1, 4), C = (2,−3)}\) znaleźć punkt \(\displaystyle{ M = (x_0, y_0)}\), dla którego
suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza.

Mozna prosic o podpowiedz ? co mam zrobic by to policzyc bo nie moge wpasc na to ?

Za ewentualna pomoc dzieki

[Dargi]

\(\displaystyle{ |AM|=\sqrt{(x_0+1)^2+(y_0-5)^2}}\)
\(\displaystyle{ |BM|=\sqrt{(x_0-1)^2+(y_0-4)^2}}\)
\(\displaystyle{ |CM|=\sqrt{(x_0-2)^2+(y_0+3)^2}}\)
\(\displaystyle{ f(x_0,y_0)=x_0^2+2x_0+1+y_0^2-10y_0+25+x_0^2-2x_0+1+y_0^2-8y_0+16+x_0^2-4x_0+4+y_0^2+6y_0+9\iff
f(x_0,y_0)=3x_0^2-4x_0+3y_0^2-12y_0+52}\)
Jak widać jest to równanie okręgu gdzie ta funkcja czyli \(\displaystyle{ r^2}\) musi być jak najmniejsza.
Liczymy pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=6x_0-4}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=6y_0-12}\)
Przyrównujemy do zera:
\(\displaystyle{ 6x_0-4=0\iff x_0=\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ 6y_0-12=0\iff y_0=2}\)
Ten punkt to:
\(\displaystyle{ M=(\frac{2}{3};2)}\)

[lolek_m]

Wyłapałem błąd w obliczeniu, nie jest on znaczący lecz nie daje mi spokoju. w \(\displaystyle{ f(x,y)}\) wyraz wolny to nie \(\displaystyle{ 52}\), lecz \(\displaystyle{ 56}\).