Rozkład brzegowy

[Bozydar12]

Dany jest rozkład wektora \(\displaystyle{ (X,Y)\sim f(x,y)=e^{-y+x} }\) dla \(\displaystyle{ 0<x<1,y>x}\). Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\).
Aby wyznaczyć rozkład \(\displaystyle{ X}\) zrobiłem \(\displaystyle{ 1(0<x<1) \int_{x}^{ \infty } e^{-y+x}dy }\), z czego otrzymałem \(\displaystyle{ 1(0<x<1)}\), więc \(\displaystyle{ f_X(x) = \begin{cases} 1,x \in (0,1)\\\ 0, x \notin (0,1) \\\end{cases} }\).
Dalej próbowałem wyznaczyć dla zmiennej \(\displaystyle{ Y}\), czyli \(\displaystyle{ 1(y>x)\int_{0}^{1}e^{-y+x}dx }\), z czego otrzymałem: \(\displaystyle{ e^{-y}(e-1)}\) dla \(\displaystyle{ y>x}\).
Nie potrafię policzyć z tego jednak sumy wartości oczekiwanej zmiennych losowych, wiem jak, wiem ile powinna wyjść, jednak ze względu na postać rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) myślę, że jest tam jakiś błąd. W jaki sposób otrzymać rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y}\)?

[Tmkk]

Musisz poprawnie policzyć drugą całkę. Zauważ, że jeśli odcałkowujesz po \(\displaystyle{ dx}\), to w wyniku nie może pojawić się żaden \(\displaystyle{ x}\). Z resztą już sam zapis gęstości:

\(\displaystyle{ f_Y(y) = e^{-y}(e-1) 1_{y > x}}\)

jest bez sensu, bo zależy od \(\displaystyle{ x}\). Zacznij od narysowania obszaru całkowania i podzielenia go na poziome kreski (bo chcesz całkowac po \(\displaystyle{ dx}\)). Jak wówczas zmienią się funkcje charakterystyczne? (chodzi mi o \(\displaystyle{ 1_{0 < x < 1} 1_{y > x}}\)). Nie wiem jak duże masz doświadczenie w całkowaniu, więc jeśli nie rozumiesz, o co mi chodzi, daj znać - wytłumaczę dokładniej.

[Bozydar12]

ah, czyżby chodziło o to, że x będzie zmieniać się od 0 do y, natomiast y od x do nieskończoności? też w sumie nie, narysowałem obszar ale nie wiem jak to opisać.
Wydaje mi się, że trzeba zapisać to jako sumę całek.

[Tmkk]

x będzie zmieniać się od 0 do y, natomiast y od x do nieskończoności?

tak to nie, bo wyrażasz \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ y}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) od \(\displaystyle{ x}\) - to się nie uda.

Wydaje mi się, że trzeba zapisać to jako sumę całek.

Dokładnie tak. Jeden z tych obszarów to prostokąt, drugi to trójkąt.

[Bozydar12]

Czyli otrzymuję całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{y}e^{-y+x}1(0<y<1)dx+ \int_{0}^{1}e^{-y+x}1(y>1)dx}\), czyli w wyniku:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1-e^{-y},y \in (0,1)\\ (e-1)e^{-y},y \in (1, \infty )\end{cases} }\), zgadza się?

[Tmkk]

Tak, bardzo dobrze.

[Bozydar12]

Dobra, a teraz jak liczyłem sobie innym sposobem wartość oczekiwaną i wiem iż wychodzi \(\displaystyle{ 2}\), a tutaj(wiem że całka ze dla zmiennej X wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) więc pomijam):
EY=\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}y(1-e^{-y})dy+ \int_{1}^{ \infty }ye^{-y}(e-1)dy = y\mathrm{e}^{-y}+\mathrm{e}^{-y}+\dfrac{y^2}{2}}\) w granicach 0 i 1 oraz \(\displaystyle{ e^{-y}(-y-1}\)) w granicach 1 i \(\displaystyle{ \infty }\) .
Z tego otrzymuję \(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{2}{e} }\) + \(\displaystyle{ \dfrac{\mathrm{e}^{-1}\left(\mathrm{e}+4\right)}{2}-1 = \frac{4}{e} }\). Czy gdzieś popełniłem błąd? Z całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{x}^{ \infty }(x+y)e^{-y+x}dydx=2 }\)

[Tmkk]

Wygląda na to, że zapomniałeś \(\displaystyle{ e-1}\) w drugiej całce i źle wstałeś granice całkowania. Na przykład brakuje \(\displaystyle{ -1}\), które pojawia się przy wstawianiu \(\displaystyle{ 0}\) w pierwszej całce. Sprawdź jeszcze raz.

[Bozydar12]

Faktycznie, pierwsza całka wynosi wtedy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}+ \frac{2}{e} - 1 }\), druga \(\displaystyle{ \frac{2}{e}(e-1) }\), a to rozwiązuje problem. Dziękuje bardzo!