Permutacje i cykle

[Mr Joker]

Hej, mam takie oto zadania:

2. Dowolny cykl \(\displaystyle{ (k _{1}k_{2}...k_{m})}\) można przedstawić jako iloczyn transpozycji
\(\displaystyle{ (k_{1}k_{m}) (k_{1}k_{m-1})... (k_{1}k_{2})}\). Udowodnij to indukcyjnie.

3. Dla każdej wartości \(\displaystyle{ m = 1,2,3,4,5,6 }\) znajdź permutację należąca do \(\displaystyle{ S_{6}}\) mającą rząd \(\displaystyle{ m}\). Jeśli to możliwe – unikaj cykli!

4. a) Podaj przykład permutacji z \(\displaystyle{ S_{5}}\) mającej rząd \(\displaystyle{ 6}\).

b) Podaj przykłady permutacji z \(\displaystyle{ S_{7}}\) o rzędach \(\displaystyle{ 10}\) i \(\displaystyle{ 12}\).


Niestety, udało mi się rozwiązać to.
3. Tak to sobie wymyśliłem
a) \(\displaystyle{ m=1}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 1 2 3 4 5 6} = (1)(2)(3)(4)(5)(6) }\)
b) \(\displaystyle{ m=2}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 6 4 5 2 3 1} = (16)(24)(35) }\)
c) \(\displaystyle{ m=3}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 3 4 5 6 1 2} = (135)(246) }\)
d) \(\displaystyle{ m=4}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 6 5 4 1 2 3} = (1634)(25) }\)
e) \(\displaystyle{ m=5}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 1 5 4 2 6 3} = (25634)(1) }\)
f) \(\displaystyle{ m=6}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 5 1 6 2 3 4} = (25634) }\)

Czy 3 zadanie mam dobrze? Pomożecie z resztą?

[a4karo]

Wsk: `10=5\cdot 2,\ 12=3\cdot 4`

[Mr Joker]

Poprawione zadanie 3. Czy teraz jest OK?

a) \(\displaystyle{ m=1}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 1 2 3 4 5 6} = (1)(2)(3)(4)(5)(6) }\)
b) \(\displaystyle{ m=2}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 3 2 1 4 5 6} = (13) }\)
c) \(\displaystyle{ m=3}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 5 2 3 4 6 1} = (156) }\)
d) \(\displaystyle{ m=4}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 3 4 2 1 5 6} = (1324) }\)
e) \(\displaystyle{ m=5}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 4 2 6 5 3 1} = (14536) }\)
f) \(\displaystyle{ m=6}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 6 5 4 1 3 2} = (162534) }\)

Co do zad. 4 będzie ok?
a) \(\displaystyle{ m=6}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 \choose 4 3 2 5 1} = (145)(23) }\)
b) \(\displaystyle{ m=10}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 7 \choose 3 1 5 6 7 4 2} = (13572)(46) }\)
\(\displaystyle{ m=12}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 7 \choose 3 6 7 5 2 4 1} = (137)(2645) }\)

[matmatmm]

Na pierwszy rzut oka wszystkie przykłady masz dobrze. Wyjaśnij, gdzie pojawia się problem w dowodzie indukcyjnym.

[Mr Joker]

Nie mam pojęcia co z tym zrobić

Dodano po 6 godzinach 7 minutach 27 sekundach:
Pomożecie? To dość pilne

5. Wykaż, że każda permutacja z \(\displaystyle{ S_{6} }\) ma rząd \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5 lub 6}\). Uwaga : w ogólnym przypadku grupa \(\displaystyle{ S_{n}}\) może mieć elementy rzędu \(\displaystyle{ >n}\)

2. Dowolny cykl \(\displaystyle{ (k _{1}k_{2}...k_{m})}\) można przedstawić jako iloczyn transpozycji
\(\displaystyle{ (k_{1}k_{m}) (k_{1}k_{m-1})... (k_{1}k_{2})}\). Udowodnij to indukcyjnie.

[Jan Kraszewski]

Możemy pomóc, ale nie zrobić za Ciebie. Np. zacznij dowód indukcyjny.

JK

[arek1357]

Może niepotrzebnie się wtrącam , ale irytujące jest dla mnie stwierdzenie, że: "każdy cykl możemy przedstawić jako iloczyn takowych transpozycji"...

Prawidłowo powinno być tak, że każdy taki cykl możemy przedstawić za pomocą iloczynu takichże permutacji:

\(\displaystyle{ (k_{1},k_{2},...,k_{m})= \prod_{i=2}^{m}p_{i} }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ p_{i}=(k_{1},k_{i})(k_{2})(k_{3})...(k_{i-1})(k_{i+1})...(k_{m})}\)

To jest mylne pójście na skróty...

Niestety te permutacje mylone są z zależnymi transpozycjami...

[Dasio11]

Na czym właściwie polega różnica między tym, co Cię irytuje, a tym, co sam napisałeś?

[a4karo]

Ani chybi użycie słowa "takowych" zamiast "takichże". Bo pisanie `(k_1)` jako permutacji, która nic nie robi jest totalnie pozbawione sensu.

[arek1357]

Na czym właściwie polega różnica między tym, co Cię irytuje, a tym, co sam napisałeś?

A tak jest pewna różnica bo mi czy Tobie nie zrobi żadnej różnicy ale dla tego kto się uczy tego różnica jest kolosalna uwierz mi , bardzo często uczący się algebry nie mogą skumać na czym polega takie składanie cykli o części wspólnej i nie mogą tego należycie rozkminić, a po moim rozpisaniu dopiero im się oczy otwierają, uwierz mi że tak jest , miałem kiedyś taki przypadek, że musiałem gościowi coś takiego wyjaśnić a skumał wtedy gdy rozpisałem mu w ten sposób co wyżej...Możliwe Dasio , że tego nie dostrzegasz ale dydaktycznie moja rozpiska jest dużo lepsza...

A4karo tyś czasem nie powinien wykładać gramatyki lub filologii polskiej??

Chętnie zapiszę się na kurs ...

[Mr Joker]

Pomóżcie zacząć i spróbuję dokończyć Nie mam kompletnie pomysłu