Zbadać przy jakiej wartości 'a', krzywa będzie wklęsła. Krysicki-Włodarski 10.72

[krokodyl7wody]

Zbadać, przy jakiej wartości \(\displaystyle{ a}\) krzywa \(\displaystyle{ y = x^{4} +a x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} +1 }\) będzie wklęsła.

Odpowiedź w książce : \(\displaystyle{ a = -2 \vee a = 2}\)

I mam pytanie: Czy przypadkiem nie ma błędu w treści zadania, ponieważ dla tych wartości podanych jako odpowiedź funkcja jest wypukła.

Moje obliczenia:

\(\displaystyle{ y' = 4 x^{3} +3ax ^{2} + 3x }\)
\(\displaystyle{ y'' = 12x^{2}+6ax+3 = 4x^{2}+2a+1}\)

\(\displaystyle{ 4x^{2} +2a+1 = 0 ? }\)
\(\displaystyle{ \Delta = (2a)^{2} - 16 = 0 }\)
\(\displaystyle{ \Delta = 4a^{2} - 16 = 0}\)

Zatem dla wartości
\(\displaystyle{ a = -2 \vee a = 2}\)
2 pochodna jest zawsze dodatnia (z wyjątkiem miejsca gdzie jest = 0), czyli funkcja jest wypukła. Zgadza się ?

[a4karo]

To oczywiście dla wyniku nie ma znaczenia, ale druga równość w liczeniu \(\displaystyle{ y''}\) nie jest prawdziwa.

Wielomian parzystego stopnia z dodatnim najwyższym współczynnikiem nie może być stale wklęsły.

Dodano po 1 minucie :
Chociaż w pewnym podręczniku jednej z wojskowych szkół uczą inaczej

[krokodyl7wody]

Wielomian parzystego stopnia z dodatnim najwyższym współczynnikiem nie może być stale wklęsły.

Właśnie o to mi chodzi.

Czyli wynika podany w książce \(\displaystyle{ a = -2 \vee a = 2}\) odnosi się do sytuacji w której wielomian \(\displaystyle{ y}\) jest stale wypukły ?

[a4karo]

tak