Oznaczmy
\(\displaystyle{ P(x,y,z)=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}}\). Wtedy po dodaniu prawdziwych na mocy AM-GM nierówności
$$\begin{aligned}\frac{7}{12}\cdot\frac{1}{x}+\frac{7}{10}\cdot\frac{2}{y}+\frac{5}{16}\cdot 21xy&\ge 3\cdot\frac{7}{4}\\ \frac{3}{10}\cdot\frac{2}{y}+\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{z}+\frac{5}{16}\cdot 2yz&\ge 3\cdot\frac{3}{4}\\ \frac{5}{8}\cdot\frac{3}{z}+\frac{5}{12}\cdot\frac{1}{x}+\frac{5}{16}\cdot 8zx&\ge 3\cdot\frac{5}{4}\end{aligned}$$
mamy, że
\(\displaystyle{ P_{min}(x,y,z)=P\left(\frac{1}{3},\frac{4}{5},\frac{3}{2}\right)=\frac{15}{2}}\).
Nieco dokładniej poniżej.
Najpierw przypuśćmy, że najmniejsza wartość
\(\displaystyle{ P}\) występuje dla pewnych
\(\displaystyle{ (x,y,z)=(a,b,c)}\) spełniających
\(\displaystyle{ 21ab+2bc+8ca<12}\). Wtedy biorąc np.
\(\displaystyle{ a'>a}\), takie że
\(\displaystyle{ 21a'b+2bc+8ca'=12}\) sprawiamy, że wartość
\(\displaystyle{ P}\) nam maleje, więc mamy sprzeczność. Wystarczy wobec tego rozpatrywać tylko trójki
\(\displaystyle{ (x,y,z)}\) spełniające
\(\displaystyle{ 21xy+2yz+8zx=12}\).
Nie będziemy wykraczać w rozwiązaniu poza AM-GM.
Dla rzeczywistej stałej
\(\displaystyle{ p>0}\) oraz rzeczywistych stałych
\(\displaystyle{ k,m,n\in (0,1)}\), będziemy rozpatrywać nierówności postaci
$$\begin{aligned}k\cdot\frac{1}{x}+m\cdot\frac{2}{y}+p\cdot 21xy&\ge 3\sqrt[3]{42kmp}\\(1-m)\cdot\frac{2}{y}+n\cdot\frac{3}{z}+p\cdot 2yz&\ge 3\sqrt[3]{12(1-m)np}\\(1-n)\cdot\frac{3}{z}+(1-k)\cdot\frac{1}{x}+p\cdot 8zx&\ge 3\sqrt[3]{24(1-k)(1-n)p}\end{aligned}$$
i starać się znaleźć odpowiednie współczynniki wykorzystując warunki równości.
Musimy mieć:
a)
\(\displaystyle{ k\cdot\frac{1}{x}=m\cdot\frac{2}{y}=p\cdot 21xy}\), czyli
\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{\frac{k^2}{42mp}}}\) oraz
\(\displaystyle{ y=\sqrt[3]{\frac{4m^2}{21kp}}}\);
b)
\(\displaystyle{ (1-m)\cdot\frac{2}{y}=n\cdot\frac{3}{z}=p\cdot 2yz}\), czyli
\(\displaystyle{ y=\sqrt[3]{\frac{2(1-m)^2}{3np}}}\) oraz
\(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{\frac{9n^2}{4(1-m)p}}}\);
c)
\(\displaystyle{ (1-n)\cdot\frac{3}{z}=(1-k)\cdot\frac{1}{x}=p\cdot 8zx}\), czyli
\(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{\frac{9(1-n)^2}{8(1-k)p}}}\) oraz
\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{\frac{(1-k)^2}{24(1-n)p}}}\).
Równość w każdej z nierówności zachodzić musi dla tej samej wartości poszczególnych zmiennych, więc musimy mieć
$$\left\{\begin{array}{rcl}\frac{k^2}{42m}&=&\frac{(1-k)^2}{24(1-n)}\\ \frac{4m^2}{21k}&=&\frac{2(1-m)^2}{3n}\\ \frac{9n^2}{4(1-m)}&=&\frac{9(1-n)^2}{8(1-k)}\end{array}\right.\implies\left\{\begin{array}{rcl}\left(\frac{1-k}{k}\right)^2&=&\frac{4}{7}\cdot\frac{1-n}{m}\\ \frac{2}{7}\cdot\frac{n}{k}&=&\left(\frac{1-m}{m}\right)^2\\ 2\cdot\frac{1-k}{1-m}&=&\left(\frac{1-n}{n}\right)^2\end{array}\right.$$
Rozwiązując ten ostatni układ otrzymujemy szukane stałe oraz wartości zmiennych, które realizują minimum.
W końcu
\(\displaystyle{ k=\frac{7}{12},\ m=\frac{7}{10},\ n=\frac{3}{8}}\), a w rezultacie
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{6}\sqrt[3]{\frac{5}{2p}}}\),
\(\displaystyle{ y=\sqrt[3]{\frac{4}{25p}}}\),
\(\displaystyle{ z=\frac{3}{4}\sqrt[3]{\frac{5}{2p}}}\).
Musimy także mieć $$21\cdot\frac{1}{6}\sqrt[3]{\frac{5}{2p}}\cdot\sqrt[3]{\frac{4}{25p}}+2\cdot\sqrt[3]{\frac{4}{25p}}\cdot\frac{3}{4}\sqrt[3]{\frac{5}{2p}}+8\cdot\frac{3}{4}\sqrt[3]{\frac{5}{2p}}\cdot\frac{1}{6}\sqrt[3]{\frac{5}{2p}}=12$$ lub $$5\sqrt[3]{\frac{2}{5p^2}}+\frac{5}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{5p^2}}=12,$$ skąd
\(\displaystyle{ p=\frac{5}{16}}\) i ostatecznie
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{3},\ y=\frac{4}{5},\ z=\frac{3}{2}}\).