Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych

[Nadine]

Dzień dobry,
Liczyłam sobie ekstrema z warunkami i mam problem z takim
\(\displaystyle{
z=x^2 + y^2, \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1
}\)
przerzuciłam warunek, policzyłam i pochodne cząstkowe wychodzą takie

\(\displaystyle{
2x+\frac{q}{a}=0
}\)
\(\displaystyle{
2y+\frac{q}{b}=0
}\)
\(\displaystyle{
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} -1=0
}\)


\(\displaystyle{
\frac{y\cdot b}{a^2} + \frac{y}{b} - 1 =0
}\)

\(\displaystyle{
\frac{yb^2 + ya^2 - a^2 b}{a^2 b} =0
}\)
tylko co dalej,

[Premislav]

Zupełnie niepotrzebnie skomplikowałaś. Z pierwszego równania masz \(\displaystyle{ x=-\frac{q}{2a}}\), z drugiego \(\displaystyle{ y=-\frac{q}{2b}}\), podstawiasz to do trzeciego równania i dostajesz
\(\displaystyle{ -\frac{q}{2a^{2}}-\frac{q}{2b^{2}}=1}\), z tego możesz bez problemu wyliczyć \(\displaystyle{ q}\).

[Nadine]

q już dałam radę policzyć, fakt trochę na około, ale jednak jest
\(\displaystyle{
y=\frac{a^2 * b}{a^2 + b^2}
}\)
\(\displaystyle{
x=\frac{a * b^2}{a^2 + b^2}
}\)
\(\displaystyle{
q=2*\frac{a^2 * b^2}{a^2 + b^2}
}\)
bardziej teraz się po prostu gubię i nie wiem co robić, póki co myślałam nad liczeniem kolejnych pochodnych, tylko nie wiem jak to wyjdzie, trochę mnie te a,b mieszają

Dodano po 9 minutach 12 sekundach:
I zrobiłam z tego macierz, której wyznacznik
\(\displaystyle{
W= \frac{-2(a^2 + b^2)}{a^2 * b^2}

Dodano po 5 minutach 37 sekundach:
Co w sumie daje mi minimum bo ten wyznacznik jest zawsze mniejszy od zera.}\)

[a4karo]

To zadanie można rozwiązać geometrycznie praktycznie beż żadnych rachunków.
Dla małych wartości `z` okrąg `z=x^2+y^2` nie przecina sie z daną prostą.
Gdy `z` rośnie, okrąg dotknie prostej, i to będzie najmniejsza wartość `z_0` dla której istnieją rozwiązania. Oczywiście `z_0` jest równe kwadratowi długości promienia okręgu stycznego do prostej.
Gdy `z` rośnie dalej, jest oczywiste, że okrąg przetnie prostą w dwóch punktach, zatem zbiorem wartości funkcji `z` będzie półprosta \([z_0,\infty)\).

Wyznaczę promień tego okręgu stycznego:
Proste \(\displaystyle{ \frac{x}{\pm a}+\frac{y}{\pm b}=1}\) zawierają boki rombu o wierzchołkach `(\pm a,0), (0,\pm b)`. Ten romb na pole `P=2|ab|` oraz obwód `O=4\sqrt{a^2+b^2}`. Szukany okrąg (o promieniu `r` )jest wpisany w ten romb, więc `P={Or}/2`.

Stąd `r={2P}/O={|ab|}/{\sqrt{a^2+b^2}`, a `y_0={a^2b^2}/{a^2+b^2}`.