udowodnic bijekcje

[klarksons]

Ustalmy wolne grupy abelowe \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\) o bazach \(\displaystyle{ \{f_{i}:i \in I\} }\) i \(\displaystyle{ \{g_{j}: j \in J\} }\), odpowiednio gdzie \(\displaystyle{ \left| I \right| = \left| J \right|}\) . Istnieje wówczas zbiór \(\displaystyle{ K}\) taki, że \(\displaystyle{ \{f_{i}:i \in I\} = \{f_{k}:k \in K\} }\) oraz \(\displaystyle{ \{g_{j}: j \in J\} = \{g_{k}: k \in K\} }\) i możemy zdefiniowac odwzorowanie \(\displaystyle{ h: F \to G }\) wzorem \(\displaystyle{ h\Big(\sum_{k \in K}x_{k}f_{k}\Big) = x_{k}g_{k} }\).

Trzeba udowodnić, że \(\displaystyle{ h}\) jest bijekcją. Nie mam pojęcia jak to zrobić, prosze o pomoc ;/