udowodnić ze funkcja jest homomorfizem

[klarksons]

\(\displaystyle{ (F,+)}\) - grupa abelowa, gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest wolna grupa abelowa o bazie \(\displaystyle{ \{f_{i} : i \in I\} \Leftrightarrow }\) dla dowolnej grupy abelowej \(\displaystyle{ H}\) i jej rodziny elementów \(\displaystyle{ \{h_{i} : i \in I\}}\) istnieje homomorfizm \(\displaystyle{ h : F \rightarrow H }\) taki, że \(\displaystyle{ h(f_{i}) = h_{i} }\).

Dowód.
Odwzorowanie \(\displaystyle{ h : F \rightarrow H }\) danym wzorem:
\(\displaystyle{ h(\sum_{i \in I}x_{i}f_{i}) = \sum_{i \in I}x_{i}h_{i} }\),
gdzie \(\displaystyle{ x_{i} \in \mathbb{Z} }\) oraz \(\displaystyle{ x_{i} = 0 }\) dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ i \in I }\).

Jak udowodnić, że \(\displaystyle{ h}\) jest homomorfizmem?? Wiem, że trzeba skorzystać ze wzoru ale kompletnie nie wiem jak zacząć.
Bardzo prosze o pomoc

[Dasio11]

\(\displaystyle{ h \left( \sum_{i \in I} x_i f_i + \sum_{i \in I} y_i f_i \right) = h \left( \sum_{i \in I} (x_i+y_i) f_i \right) = \ldots}\)

[klarksons]

Dziękuje za podpowiedź. To probuje i wychodzi cos takiego:

\(\displaystyle{ { h \left( \sum_{i \in I} x_i f_i + \sum_{i \in I} y_i f_i \right) = h \left( \sum_{i \in I} (x_i+y_i) f_i \right) = h( \sum_{i \in I}^{} x_{i}+ y_{i})h( f_{i}) = \sum_{i \in I}^{}( x_{i}+y_{i}) h_{i} } }\)
\(\displaystyle{ { h \left( \sum_{i \in I} x_i f_i + \sum_{i \in I} y_i f_i \right) = h( \sum_{i \in i}^{}x_{i}f_{i}) + h(\sum_{i \in I}y_{i}f_{i}) = \sum_{i \in I}^{} x_{i}h_{i} + \sum_{i \in I}^{}y_{i}h_{i} = \sum_{i \in I}^{}( x_{i}+y_{i}) h_{i} } }\)

Prosze ocenić czy jest dobrze?

[Dasio11]

Nie jest dobrze.

Wyrażenie \(\displaystyle{ h \left( \sum_{i \in I} (x_i+y_i) \right)}\) nie ma sensu, bo suma nawiasie jest liczbą całkowitą, czyli nie należy do dziedziny \(\displaystyle{ h}\). Ponadto w pierwszym przejściu w drugiej linijce korzystasz z równości, której dopiero dowodzisz.

[klarksons]

To ja już nie wiem jak to zrobić, bardzo prosze o rozpisanie jak to powinno wyglądac...
Chciałabym to zobaczyć, zrozumieć

[Dasio11]

Dla ustalonych \(\displaystyle{ x, y \in F}\) wykazujemy, że \(\displaystyle{ h(x+y) = h(x) + h(y)}\).

Z definicji wolnej grupy abelowej możemy powyższe elementy zapisać w postaci

\(\displaystyle{ x = \sum_{i \in I} x_i f_i, \qquad y = \sum_{i \in I} y_i f_i}\).

Wtedy:

\(\displaystyle{ h(x+y) = h \left( \sum_{i \in I} x_i f_i + \sum_{i \in I} y_i f_i \right) = h \left( \sum_{i \in I} (x_i+y_i) f_i \right) = \sum_{i \in I} (x_i+y_i) h_i = \sum_{i \in I} x_i h_i + \sum_{i \in I} y_i h_i \\[2ex]
h(x) + h(y) = h \left( \sum_{i \in I} x_i f_i \right) + h \left( \sum_{i \in I} y_i f_i \right) = \sum_{i \in I} x_i h_i + \sum_{i \in I} y_i h_i}\)

czyli \(\displaystyle{ h(x+y) = h(x) + h(y)}\), tak jak trzeba.

[klarksons]

Bardzo dziękuje.