Błędne podstawienie?

[tomek1413]

Witam, mam problem z pewną całką.
\(\displaystyle{ \int \sin^3 x \cos x \, \dd x}\)
Stosując podstawienie
\(\displaystyle{ t=\cos x}\)
\(\displaystyle{ \dd t = -\sin x \, \dd x}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 x = 1-t^2}\)
Wychodzi mi
\(\displaystyle{ \int(-\sin^2 x) \cdot (-\sin x) \cos x \cdot \dd x}\)
wyciagajac minus przed calke i podstawiajac
\(\displaystyle{ -\int (1-t)^2 \cdot t \cdot \dd t}\)
\(\displaystyle{ -\int t \cdot \dd t+ \int t^3= -\frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{4}t^4}\)

A jest to źle bo uzywając innego podstawienia wychodzi szybciej inny poprawny wynik, ale nie widze gdzie robię błąd używając tego podstawienia.

[Jan Kraszewski]

A jest to źle bo uzywając innego podstawienia wychodzi szybciej inny poprawny wynik, ale nie widze gdzie robię błąd używając tego podstawienia.

Istotnie, podstawienie \(\displaystyle{ t=\sin x}\) jest bardziej oczywiste.

To, że wychodzi Ci inaczej wyglądający wynik nie oznacza jeszcze, że jest to inny wynik. Pokaż oba wyniki.

JK

[Gosda]

Niepoprawnie wymnożyłeś wielomiany pod całką, powinno być \(\displaystyle{ t - 2t^2 + t^3}\), bo \(\displaystyle{ (a + b)^2 \neq a^2 + b^2}\) poza pewnymi szczególnymi przypadkami.

[tomek1413]

Chciałbym prosić o przeniesienie do działu rachunek całkowy, a w poście popełniłem błąd, bo
\(\displaystyle{ - \int_{}^{}(1-t^{2})tdt }\)
\(\displaystyle{ - \int_{}^{} t-t^{3}dt }\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{4}t^{4} }\)
\(\displaystyle{ \frac{-1}{2} \cos^{2}{x}+\frac{1}{4} \cos^{4}{x} }\)

a poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}\sin^{4}{x} }\)

A one nigdy nie sa sobie równe

[a4karo]

Równa nie są, ale różnią się o stałą i to wystarcza do równości całek.
Wsk: zastąp `\cos^2x` przez `1-\sin^2x` i wykonaj elementarne działania.