Zaznacz zbiór na płaszczyźnie zespolonej.

[JohnnyK]

Hej,
mam polecenie : Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór \(\displaystyle{ Re(z ^{2}) \le 2}\) .

Wolfram pokazuje coś związanego z parabolą \(\displaystyle{ x ^{2}}\), ale znalazłem też kilka podobnych rozwiązań korzystających z postaci trygonometrycznej, w których wykres jest zupełnie inny.

Z góry dzięki za pomoc

[JakimPL]

Jeżeli \(\displaystyle{ z = a + bi}\), to \(\displaystyle{ z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2 -b^2) +2abi}\). Czyli \(\displaystyle{ \operatorname{Re}(z^2) = a^2 - b^2 \leqslant 2}\). Można to zastąpić równoważnie \(\displaystyle{ b^2\geqslant a^2 - 2}\) i przystąpić jak do szkicowania nierówności funkcji jednej zmiennej.

[Dasio11]

Gdyby chodziło o nierówność \(\displaystyle{ \Im(z^2) \le 2}\), to przy podstawieniu \(\displaystyle{ z = x + iy}\):

\(\displaystyle{ \Im(z^2) \le 2 \iff 2xy \le 2 \iff xy \le 1,}\)

więc rozwiązaniem byłby obszar \(\displaystyle{ D \subseteq \CC}\) złożony z punktów leżących między dwiema gałęziami hiperboli \(\displaystyle{ xy = 1}\).

Ale skoro chodzi o nierówność \(\displaystyle{ \Re(z^2) \le 2}\), to oznaczmy \(\displaystyle{ \varepsilon = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}}\) i zauważmy, że

\(\displaystyle{ \Re(z^2) \le 2 \iff \Im( i \cdot z^2 ) \le 2 \iff \Im (\varepsilon z)^2 \le 2 \iff \varepsilon z \in D}\).

Zatem szukanym zbiorem jest

\(\displaystyle{ E = \{ z \in \CC : \varepsilon z \in D \}}\),

czyli obszar otrzymany z \(\displaystyle{ D}\) przez obrót o \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) wokół początku układu współrzędnych.