Transformata Laplace'a

[klarksons]

Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.

Znaleźć transformacje Laplace'a następującej funkcji określonej wzorem:

\(\displaystyle{ \frac{4}{3} e^{t} + \frac{2}{3} e ^{-t} \left( 3 \sqrt{3} \sin \frac{1}{2} t \sqrt{3} - 2\cos \frac{1}{2} t \sqrt{3}\right)}\)

[Premislav]

Można skorzystać z liniowości transformaty Laplace'a i takich wzorków:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{e^{at}\cos(bt)\right\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}\\ \mathcal{L}\left\{e^{at}\sin(bt)\right\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}}\)
Reszta to proste rachunki.

[klarksons]

Wzory znam, dzięki xd nie wiem jak rozpisać \(\displaystyle{ t \sqrt{3}}\)

[Premislav]

A po co to rozpisywać? Jak rozumiem, tam masz \(\displaystyle{ \sin\left(\frac{1}{2}t\sqrt{3}\right), \ \cos\left(\frac{1}{2}t\sqrt{3}\right)}\), to po prostu przyjmujesz \(\displaystyle{ b=\frac{1}{2}\sqrt{3}}\) w tych wzorach, które napisałem.

[klarksons]

Policz proszę jak możesz na jakiejś kartce. Mi wynik nie może wyjść. Jak tobie wyjdzie, to znaczy ze ja gdzieś błąd mam w rachunkach.

A w odpowiedziach jest to :
\(\displaystyle{ \frac{5s-1}{ s^{3} - 1}}\)

[Premislav]

Mnie wychodzi coś takiego w pamięci:
\(\displaystyle{ \frac{4}{3(s-1)}+2\sqrt{3}\cdot \frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{(s+1)^{2}+\frac{3}{4}}-\frac{4(s+1)}{3\left((s+1)^{2}+\frac{3}{4}\right)} }\)
Nie przypomina to w żaden sposób wyniku z odpowiedzi, jeśli ktoś ma jakąkolwiek intuicję dotyczącą rozkładu na ułamki proste.
Co więcej, wolfram się raczej ze mną zgodzi, że to jest niedobrze:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=laplace+transform+of+4%2F3+e%5Ex%2B2%2F3e%5E%7B-x%7D%283*sqrt%283%29sin%28sqrt%283%29x%2F2%29-2cos%28sqrt%283%29x%2F2%29%29

Może źle przepisałeś przykład?

[klarksons]

Tak, okazało się, że w książce jest błąd. Wielkie dzieki za poswiecony czas!