[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Nowe zadanie:
dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\ge a+b+c+\frac{4(a-b)^{2}}{a+b+c} }\).
Kiedy zachodzi równość w powyższej nierówności?
dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\ge a+b+c+\frac{4(a-b)^{2}}{a+b+c} }\).
Kiedy zachodzi równość w powyższej nierówności?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
W porządku (swoją drogą też robiłem z CS), możesz wstawić następne zadanie. O tyle śmieszne, że sprawdzenie warunku równości stanowi (nieco) ciekawszy problem niż samo zadanie, co chyba nie tak często się zdarza (ale może mało widziałem).
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Chciałam to dopisać też, ale czas edycji minął.
PS Aha, myślę, że możemy jeszcze zauważyć, że gdy zmienne są parami różne, to nie może zajść sytuacja, że oba wyrażenia w nawiasach w którymś równaniu powyższego układu są jednocześnie zerami.
__________________________________________________________________
Ok, bardzo prawdopodobne jest, że nie będę mogła przypilnować w najbliższym czasie tego łańcuszka, więc to będzie łatwe zadanie, tylko żeby nie oddawać kolejki. Jeżeli ktoś będzie pewien, że rozwiązał poprawnie, to może niech później od razu wrzuci jakieś następne.
Znajdź dodatnie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\), takie że \(\displaystyle{ a+b+c\ge 6}\) oraz $$\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+2b+c+3}+\frac{1}{ca+2a+1}=\frac{66}{(a+b+c)^3+4}$$
PS Aha, myślę, że możemy jeszcze zauważyć, że gdy zmienne są parami różne, to nie może zajść sytuacja, że oba wyrażenia w nawiasach w którymś równaniu powyższego układu są jednocześnie zerami.
__________________________________________________________________
Ok, bardzo prawdopodobne jest, że nie będę mogła przypilnować w najbliższym czasie tego łańcuszka, więc to będzie łatwe zadanie, tylko żeby nie oddawać kolejki. Jeżeli ktoś będzie pewien, że rozwiązał poprawnie, to może niech później od razu wrzuci jakieś następne.
Znajdź dodatnie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\), takie że \(\displaystyle{ a+b+c\ge 6}\) oraz $$\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+2b+c+3}+\frac{1}{ca+2a+1}=\frac{66}{(a+b+c)^3+4}$$
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Ukryta treść:
Nowe zadanie:
proszę wykazać, że dla liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ x+y+z=xy+yz+zx}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}+y+1}+\frac{1}{y^{2}+z+1}+\frac{1}{z^{2}+x+1}\le 1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Ok, to tak samo jak poprzednio:
Dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\), takich że \(\displaystyle{ a+b+c=1}\), udowodnij $$\sqrt[3]{4+17a^2b}+\sqrt[3]{4+17b^2c}+\sqrt[3]{4+17c^2a}+10\left(\frac{1}{27}-abc\right)\ge 5.$$
Dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\), takich że \(\displaystyle{ a+b+c=1}\), udowodnij $$\sqrt[3]{4+17a^2b}+\sqrt[3]{4+17b^2c}+\sqrt[3]{4+17c^2a}+10\left(\frac{1}{27}-abc\right)\ge 5.$$
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Ukryta treść:
Nowe zadanie:
dla nieujemnych liczb rzeczywistych spełniających \(\displaystyle{ a+b+c+d=4}\) proszę znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{a}{b^{3}+4}+\frac{b}{c^{3}+4}+\frac{c}{d^{3}+4}+\frac{d}{a^{3}+4} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Cóż, nie spotkało się z zainteresowaniem.
Może teraz coś takiego:
liczby dodatnie \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają \(\displaystyle{ a+b+c=1}\). Proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{a}-1}\sqrt{\frac{1}{b}-1}+\sqrt{\frac{1}{b}-1}\sqrt{\frac{1}{c}-1}+\sqrt{\frac{1}{c}-1}\sqrt{\frac{1}{a}-1}\ge 6}\)
rozwiązanie:
liczby dodatnie \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają \(\displaystyle{ a+b+c=1}\). Proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{a}-1}\sqrt{\frac{1}{b}-1}+\sqrt{\frac{1}{b}-1}\sqrt{\frac{1}{c}-1}+\sqrt{\frac{1}{c}-1}\sqrt{\frac{1}{a}-1}\ge 6}\)