Ukryta treść:
Bez straty ogólności niech \(\displaystyle{ a\ge b\ge c}\).
Wówczas zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}\ge \frac{a|b-c|+b|c-a|}{a+b}\ge \frac{c(|c-b|+|a-c|)}{a+b}\ge \frac{c|a-b|}{a+b}}\)
przy czym ostatnia nierówność wynika z nierówności trójkąta.
Zatem pierwszy czynnik w iloczynie
\(\displaystyle{ \prod_{\text{cyc}}^{}\left(\frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}-\frac{c|a-b|}{a+b}\right)}\)
jest nieujemny.
Nie chciałem się zanadto babrać w obliczeniach, więc postanowiłem postąpić tak:
1) jeśli dokładnie jeden z dwóch pozostałych czynników jest ujemny, to teza zachodzi w sposób oczywisty (liczba niedodatnia ma nie przekraczać nieujemnej, co zdaje się jasne);
2) powiedzmy, że mamy parzyście wiele ujemnych czynników (zero lub dwa).
Wykażemy, że wówczas zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \prod_{\text{cyc}}^{}\left(\frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}-\frac{c|a-b|}{a+b}\right)\le abc\left|\frac{a-b}{a+b}\cdot \frac{b-c}{b+c}\cdot \frac{c-a}{c+a}\right|}\)
2a) jeśli wszystkie czynniki w iloczynie \(\displaystyle{ \prod_{\text{cyc}}^{}\left(\frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}-\frac{c|a-b|}{a+b}\right)}\) są nieujemne (no przez zero stronami mnożyć niby nie można, ale gdy któryś czynnik jest równy zero, to cały iloczyn też i wtedy teza zachodzi),
to wystarczy trzy razy skorzystać z nierówności w nieujemnych \(\displaystyle{ \sqrt{pq}\le \frac{p+q}{2}}\) i wymnożyć stronami:
\(\displaystyle{ \sqrt{\left(\frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}-\frac{c|a-b|}{a+b}\right)\left(\frac{b|c-a|}{c+a}+\frac{c|a-b|}{a+b}-\frac{a|b-c|}{b+c}\right)} \le \frac{b|c-a|}{c+a}\\\sqrt{\left(\frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}-\frac{c|a-b|}{a+b}\right)\left(\frac{c|a-b|}{a+b}+\frac{a|b-c|}{b+c}-\frac{b|c-a|}{c+a}\right)} \le \frac{a|b-c|}{b+c}\\\sqrt{\left(\frac{b|c-a|}{c+a}+\frac{c|a-b|}{a+b}-\frac{a|b-c|}{b+c}\right)\left(\frac{c|a-b|}{a+b}+\frac{a|b-c|}{b+c}-\frac{b|c-a|}{c+a}\right)} \le \frac{c|a-b|}{a+b}}\)
co daje nam żądane oszacowanie.
2b) Zauważmy, że drugi i trzeci czynnik w iloczynie \(\displaystyle{ \prod_{\text{cyc}}^{}\left(\frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}-\frac{c|a-b|}{a+b}\right)}\) nie mogą być jednocześnie ujemne, ponieważ ich suma wynosi
\(\displaystyle{ \frac{b|c-a|}{c+a}+\frac{c|a-b|}{a+b}-\frac{a|b-c|}{b+c}+ \frac{c|a-b|}{a+b}+\frac{a|b-c|}{b+c}-\frac{b|c-a|}{c+a}=\frac{2c|a-b|}{a+b}\ge 0}\)
zaś suma liczb ujemnych nie może być nieujemna.
Pozostaje wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{8}\left|\frac{a-b}{a+b}\cdot \frac{b-c}{b+c}\cdot \frac{c-a}{c+a}\right|\le \left|\frac{a-b}{a+b}+ \frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a} \right|}\)
dla boków trójkąta.
To okazuje się jednak boleśnie jasne, gdyż
\(\displaystyle{ \frac{a-b}{a+b}+ \frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\)
Dobra tożsamość, nie znałem i doszedłem do tego, gdy pałczyłem, żeby rozważyć nieujemność wyrażenia pod modułem.
Wydaje się, że stała \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) w LHS jest dla zmyły, boki trójkąta właściwie też, chyba że ja jestem aż tak tępy.
Wówczas zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}\ge \frac{a|b-c|+b|c-a|}{a+b}\ge \frac{c(|c-b|+|a-c|)}{a+b}\ge \frac{c|a-b|}{a+b}}\)
przy czym ostatnia nierówność wynika z nierówności trójkąta.
Zatem pierwszy czynnik w iloczynie
\(\displaystyle{ \prod_{\text{cyc}}^{}\left(\frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}-\frac{c|a-b|}{a+b}\right)}\)
jest nieujemny.
Nie chciałem się zanadto babrać w obliczeniach, więc postanowiłem postąpić tak:
1) jeśli dokładnie jeden z dwóch pozostałych czynników jest ujemny, to teza zachodzi w sposób oczywisty (liczba niedodatnia ma nie przekraczać nieujemnej, co zdaje się jasne);
2) powiedzmy, że mamy parzyście wiele ujemnych czynników (zero lub dwa).
Wykażemy, że wówczas zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \prod_{\text{cyc}}^{}\left(\frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}-\frac{c|a-b|}{a+b}\right)\le abc\left|\frac{a-b}{a+b}\cdot \frac{b-c}{b+c}\cdot \frac{c-a}{c+a}\right|}\)
2a) jeśli wszystkie czynniki w iloczynie \(\displaystyle{ \prod_{\text{cyc}}^{}\left(\frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}-\frac{c|a-b|}{a+b}\right)}\) są nieujemne (no przez zero stronami mnożyć niby nie można, ale gdy któryś czynnik jest równy zero, to cały iloczyn też i wtedy teza zachodzi),
to wystarczy trzy razy skorzystać z nierówności w nieujemnych \(\displaystyle{ \sqrt{pq}\le \frac{p+q}{2}}\) i wymnożyć stronami:
\(\displaystyle{ \sqrt{\left(\frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}-\frac{c|a-b|}{a+b}\right)\left(\frac{b|c-a|}{c+a}+\frac{c|a-b|}{a+b}-\frac{a|b-c|}{b+c}\right)} \le \frac{b|c-a|}{c+a}\\\sqrt{\left(\frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}-\frac{c|a-b|}{a+b}\right)\left(\frac{c|a-b|}{a+b}+\frac{a|b-c|}{b+c}-\frac{b|c-a|}{c+a}\right)} \le \frac{a|b-c|}{b+c}\\\sqrt{\left(\frac{b|c-a|}{c+a}+\frac{c|a-b|}{a+b}-\frac{a|b-c|}{b+c}\right)\left(\frac{c|a-b|}{a+b}+\frac{a|b-c|}{b+c}-\frac{b|c-a|}{c+a}\right)} \le \frac{c|a-b|}{a+b}}\)
co daje nam żądane oszacowanie.
2b) Zauważmy, że drugi i trzeci czynnik w iloczynie \(\displaystyle{ \prod_{\text{cyc}}^{}\left(\frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}-\frac{c|a-b|}{a+b}\right)}\) nie mogą być jednocześnie ujemne, ponieważ ich suma wynosi
\(\displaystyle{ \frac{b|c-a|}{c+a}+\frac{c|a-b|}{a+b}-\frac{a|b-c|}{b+c}+ \frac{c|a-b|}{a+b}+\frac{a|b-c|}{b+c}-\frac{b|c-a|}{c+a}=\frac{2c|a-b|}{a+b}\ge 0}\)
zaś suma liczb ujemnych nie może być nieujemna.
Pozostaje wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{8}\left|\frac{a-b}{a+b}\cdot \frac{b-c}{b+c}\cdot \frac{c-a}{c+a}\right|\le \left|\frac{a-b}{a+b}+ \frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a} \right|}\)
dla boków trójkąta.
To okazuje się jednak boleśnie jasne, gdyż
\(\displaystyle{ \frac{a-b}{a+b}+ \frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\)
Dobra tożsamość, nie znałem i doszedłem do tego, gdy pałczyłem, żeby rozważyć nieujemność wyrażenia pod modułem.
Wydaje się, że stała \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) w LHS jest dla zmyły, boki trójkąta właściwie też, chyba że ja jestem aż tak tępy.