Procent energii sygnału w lisku głównym
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 8 lis 2018, o 09:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: rzeszow
- Podziękował: 5 razy
Procent energii sygnału w lisku głównym
Witam mam zadanie, w którym muszę skorzystać z twierdzenia Parsevala.
Widmo danego sygnału wyszło mi w postaci \(\displaystyle{ x( \omega) =A \cdot T \cdot Sa \frac{\omega \cdot T}{4} }\).
Mam też podpowiedź, że w tym zadaniu należy skorzystać z specjalnej funkcji si(x) - sinus całkowy.
Najpierw muszę obliczyć \(\displaystyle{ x(\omega) ^{2} }\) i nie mam pojęcia jak to się odnosi do sinusa całkowego. Czy ktoś mógłby mnie jakoś bardziej nakierować.
Widmo danego sygnału wyszło mi w postaci \(\displaystyle{ x( \omega) =A \cdot T \cdot Sa \frac{\omega \cdot T}{4} }\).
Mam też podpowiedź, że w tym zadaniu należy skorzystać z specjalnej funkcji si(x) - sinus całkowy.
Najpierw muszę obliczyć \(\displaystyle{ x(\omega) ^{2} }\) i nie mam pojęcia jak to się odnosi do sinusa całkowego. Czy ktoś mógłby mnie jakoś bardziej nakierować.
-
- Użytkownik
- Posty: 7941
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1681 razy
Re: Procent energii sygnału w lisku głównym
Korzystamy ze wzoru Parsevala na energię całkowitą sygnału
\(\displaystyle{ E = \int_{-\infty}^{\infty} [f(t)]^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}|F(j\omega)|^2 d\omega.}\)
Przechodzimy na \(\displaystyle{ x(j\omega) }\)
Obliczamy \(\displaystyle{ |x(j\omega)|^2 = x(j\omega)\cdot x^{*}(j\omega) }\)
Korzystamy z definicji \(\displaystyle{ sinc }\)
\(\displaystyle{ sinc (T) = \begin{cases} \frac{\sin (T)}{T} \ \ \mbox{gdy} \ \ T \neq 0\\ 1 \ \ \mbox {gdy} \ \ T = 0. \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ E = \int_{-\infty}^{\infty} [f(t)]^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}|F(j\omega)|^2 d\omega.}\)
Przechodzimy na \(\displaystyle{ x(j\omega) }\)
Obliczamy \(\displaystyle{ |x(j\omega)|^2 = x(j\omega)\cdot x^{*}(j\omega) }\)
Korzystamy z definicji \(\displaystyle{ sinc }\)
\(\displaystyle{ sinc (T) = \begin{cases} \frac{\sin (T)}{T} \ \ \mbox{gdy} \ \ T \neq 0\\ 1 \ \ \mbox {gdy} \ \ T = 0. \end{cases} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 8 lis 2018, o 09:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: rzeszow
- Podziękował: 5 razy
Re: Procent energii sygnału w lisku głównym
Czy znak * przy \(\displaystyle{ x(\omega)}\) oznacza splot?
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 8 lis 2018, o 09:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: rzeszow
- Podziękował: 5 razy
Re: Procent energii sygnału w lisku głównym
Jeszcze mam jedno pytanie zakładając, że mam obliczone |x\(\displaystyle{ (\omega)|^{2}}\) to w jaki sposób mam wykorzystać ten wynik i definicje sinc. W miejsce T mam podstawić j\(\displaystyle{ \omega}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 8 lis 2018, o 09:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: rzeszow
- Podziękował: 5 razy
Re: Procent energii sygnału w lisku głównym
Sygnał to impuls prostokątny w przedziale\(\displaystyle{ \frac{-\pi}{4} do \frac{\pi}{4} }\) osiągający amplitude A
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 8 lis 2018, o 09:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: rzeszow
- Podziękował: 5 razy
Re: Procent energii sygnału w lisku głównym
Mógłby Pan zobaczyć czy tym razem dokonałem poprawnie transformacji Fouriera
-
- Użytkownik
- Posty: 7941
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1681 razy
Re: Procent energii sygnału w lisku głównym
Wzór ogólny sygnału prostokątnego
\(\displaystyle{ f(t) = \begin{cases} A \ \ \mbox{gdy} \ \ |t| \leq T \\ 0 \ \ \mbox{gdy} \ \ |t|> T \end{cases} }\)
Z definicji przekształcenia Fouriera
\(\displaystyle{ F(j\omega)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t) e^{-j\omega t}dt }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{F} [f(t)] = \int_{-T}^{T}Ae^{-j\omega t} dt = \begin{cases} \left[ -\frac{A}{j\omega} e^{-j\omega t} \right]_{-T}^{T}, \ \ \omega\neq 0 \\ 2A ,\ \ \omega = 0 \end{cases} = \frac{2A}{\omega} \sin(\omega t) = 2AT sinc(\omega T) }\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ T = \frac{\pi}{4} }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{F} [f(t)] = F(j\omega) = A \cdot \frac{\pi}{2} sinc \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) }\)
\(\displaystyle{ |F(j\omega)| = A \cdot \frac{\pi}{2} \left| sinc \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right| }\)
\(\displaystyle{ |F(j\omega)|^2 = A^2 \cdot \frac{\pi^2 }{4} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right| }\)
Z twierdzenia Parservala
\(\displaystyle{ E = \frac{1}{2\pi}\cdot A^2 \cdot \frac{\pi^2 }{4} \int_{0}^{\infty} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right|d \omega = \frac{1}{8}\pi\cdot A^2 \int_{0}^{\infty} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right|d \omega =\frac{1}{8}\pi A^{2} Sinc^{2}\left( \frac{\pi}{4}\omega \right). }\)
\(\displaystyle{ f(t) = \begin{cases} A \ \ \mbox{gdy} \ \ |t| \leq T \\ 0 \ \ \mbox{gdy} \ \ |t|> T \end{cases} }\)
Z definicji przekształcenia Fouriera
\(\displaystyle{ F(j\omega)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t) e^{-j\omega t}dt }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{F} [f(t)] = \int_{-T}^{T}Ae^{-j\omega t} dt = \begin{cases} \left[ -\frac{A}{j\omega} e^{-j\omega t} \right]_{-T}^{T}, \ \ \omega\neq 0 \\ 2A ,\ \ \omega = 0 \end{cases} = \frac{2A}{\omega} \sin(\omega t) = 2AT sinc(\omega T) }\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ T = \frac{\pi}{4} }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{F} [f(t)] = F(j\omega) = A \cdot \frac{\pi}{2} sinc \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) }\)
\(\displaystyle{ |F(j\omega)| = A \cdot \frac{\pi}{2} \left| sinc \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right| }\)
\(\displaystyle{ |F(j\omega)|^2 = A^2 \cdot \frac{\pi^2 }{4} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right| }\)
Z twierdzenia Parservala
\(\displaystyle{ E = \frac{1}{2\pi}\cdot A^2 \cdot \frac{\pi^2 }{4} \int_{0}^{\infty} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right|d \omega = \frac{1}{8}\pi\cdot A^2 \int_{0}^{\infty} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right|d \omega =\frac{1}{8}\pi A^{2} Sinc^{2}\left( \frac{\pi}{4}\omega \right). }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 8 lis 2018, o 09:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: rzeszow
- Podziękował: 5 razy
Re: Procent energii sygnału w lisku głównym
Dziękuje Panu bardzo za pomoc
Dodano po 2 godzinach 27 minutach 40 sekundach:
Dodano po 2 godzinach 27 minutach 40 sekundach:
A mógłbym zapytać jak zmieniają się granice całkowania w twierdzeniu parsevala ( czemu jest od zera do nieskończoności?)janusz47 pisze: ↑1 kwie 2020, o 16:11 Wzór ogólny sygnału prostokątnego
\(\displaystyle{ f(t) = \begin{cases} A \ \ \mbox{gdy} \ \ |t| \leq T \\ 0 \ \ \mbox{gdy} \ \ |t|> T \end{cases} }\)
Z definicji przekształcenia Fouriera
\(\displaystyle{ F(j\omega)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t) e^{-j\omega t}dt }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{F} [f(t)] = \int_{-T}^{T}Ae^{-j\omega t} dt = \begin{cases} \left[ -\frac{A}{j\omega} e^{-j\omega t} \right]_{-T}^{T}, \ \ \omega\neq 0 \\ 2A ,\ \ \omega = 0 \end{cases} = \frac{2A}{\omega} \sin(\omega t) = 2AT sinc(\omega T) }\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ T = \frac{\pi}{4} }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{F} [f(t)] = F(j\omega) = A \cdot \frac{\pi}{2} sinc \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) }\)
\(\displaystyle{ |F(j\omega)| = A \cdot \frac{\pi}{2} \left| sinc \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right| }\)
\(\displaystyle{ |F(j\omega)|^2 = A^2 \cdot \frac{\pi^2 }{4} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right| }\)
Z twierdzenia Parservala
\(\displaystyle{ E = \frac{1}{2\pi}\cdot A^2 \cdot \frac{\pi^2 }{4} \int_{0}^{\infty} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right|d \omega = \frac{1}{8}\pi\cdot A^2 \int_{0}^{\infty} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right|d \omega =\frac{1}{8}\pi A^{2} Sinc^{2}\left( \frac{\pi}{4}\omega \right). }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7941
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1681 razy
Re: Procent energii sygnału w lisku głównym
Granice w twierdzeniu Parservala zmieniają się od \(\displaystyle{ -\infty }\) do [/latex] \infty. [/latex]
Zakres częstotliwości \(\displaystyle{ \omega }\) dla listka głównego
\(\displaystyle{ \omega \in \left [ -\frac{2\pi}{T}, \frac{2\pi}{T} \right ]. }\)
Proszę podstawić \(\displaystyle{ T = \frac{\pi}{4}. }\)
Zakres częstotliwości \(\displaystyle{ \omega }\) dla listka głównego
\(\displaystyle{ \omega \in \left [ -\frac{2\pi}{T}, \frac{2\pi}{T} \right ]. }\)
Proszę podstawić \(\displaystyle{ T = \frac{\pi}{4}. }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 8 lis 2018, o 09:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: rzeszow
- Podziękował: 5 razy
Re: Procent energii sygnału w lisku głównym
janusz47 pisze: ↑1 kwie 2020, o 23:03 Granice w twierdzeniu Parservala zmieniają się od \(\displaystyle{ -\infty }\) do [/latex] \infty. [/latex]
Zakres częstotliwości \(\displaystyle{ \omega }\) dla listka głównego
\(\displaystyle{ \omega \in \left [ -\frac{2\pi}{T}, \frac{2\pi}{T} \right ]. }\)
Proszę podstawić \(\displaystyle{ T = \frac{\pi}{4}. }\)
Przepraszam pomyliłem się i granice tego sygnału wynoszą od \(\displaystyle{ -\frac {T}{4}}\) do \(\displaystyle{ \frac{T}{4} }\), a nie jak błędnie napisałem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} }\). Wtedy podstawiając granice całkowania w tw. Parsevala wychodzą mi \(\displaystyle{ \frac{8\pi}{T} }\), a powinieniem chyba całkować w przedziale od \(\displaystyle{ -\frac {T}{4}}\) do \(\displaystyle{ \frac{T}{4} }\)