Równanie elipsy

[saymyname200]

Zadanie: Znaleźć równanie elipsy, mającej ogniska na osi Ox, znając równania jej kierownic \(\displaystyle{ x = ±8}\) i mimosród \(\displaystyle{ e = \frac{1}{2} \sqrt{2} }\)

Czy dobrze to rozwiązałam?
mianowicie:
\(\displaystyle{ e= \frac{c}{a} }\) czyli \(\displaystyle{ c= \sqrt{2}, a = 2}\)
Wobec tego:
\(\displaystyle{ b ^{2}=a ^{2} - c^{2} = 4-2=2 \rightarrow b=2}\)
Zatem:
\(\displaystyle{
\frac{x ^{2} }{a ^{2} } + \frac{y ^{2} }{b ^{2} } =1 \\
\frac{x ^ {2} }{4}+ \frac{y ^{2} }{4} = 1
}\)

Wydaje mi się, że jest to źle obliczone, bo powinno się wykorzystać coś z informacji o kierownicach. Proszę o pomoc.

[JHN]

Czy dobrze to rozwiązałam?
mianowicie:
\(\displaystyle{ e= \frac{c}{a} }\) czyli \(\displaystyle{ c= \sqrt{2}, a = 2}\)

Raczej
\(\displaystyle{ c= \sqrt{2}\cdot t, a = 2\cdot t\wedge t>0}\)

Pozdrawiam

[janusz47]

Równania kierownic elipsy:

\(\displaystyle{ x = \pm \frac{a^2}{c} \ \ (1) }\)

Mimośród elipsy

\(\displaystyle{ e = \frac{c}{a} \ \ (2)}\)

Podstawiając dane liczbowe do równań \(\displaystyle{ (1), (2) }\) otrzymujemy układ

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{a^2}{c} = 8 \\ \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{cases} }\)

Stąd, na podstawie pierwszego równania

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{c} = a\cdot \frac{a}{c} = a\cdot \frac{1}{e} = 8 }\)

\(\displaystyle{ a\cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8 }\)

\(\displaystyle{ a\cdot \sqrt{2} = 8 }\)

\(\displaystyle{ a = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2}= 4\sqrt{2}. }\)

\(\displaystyle{ c = a\cdot e = 4\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} = 4 .}\)

Dla elipsy

\(\displaystyle{ c = \sqrt{a^2 - b^2} }\)

\(\displaystyle{ b^2 = a^2 - c^2 }\)

\(\displaystyle{ b^2 = (4\sqrt{2})^2 - 4^2 = 32 - 16 = 16}\)

\(\displaystyle{ b = 4. }\)

Równanie kanoniczne elipsy

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{16} = 1. }\)