Wartość najmniejsza i największa

[math196]

Znaleźć najmniejszą i największa wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) w zbiorze \(\displaystyle{ D}\).

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=xyz,\\ D = \{ (x,y,z) : x^2+y^2+z^2 \le 4 \}}\)

Wiem, że najpierw szukam ekstremum w wewnątrz obszaru, czyli liczę pochodne. A później ma ktoś jakiś pomysł?

[kmarciniak1]

A po co się tak męczyć... wystarczy z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla liczb\(\displaystyle{ x ^{2}, y ^{2},z ^{2} }\)
No i pomyśl jaka będzie różnica gdy \(\displaystyle{ x,y,z }\) będą wszystkie ujemne albo gdy jedna będzie ujemna

[Dasio11]

Z ogólnych twierdzeń wiadomo, że maksimum istnieje i albo jest równe maksimum warunkowemu na brzegu kuli, albo jest punktem stacjonarnym wewnątrz. W celu wyznaczenia tego pierwszego możesz użyć mnożników Lagrange'a.

A po co się tak męczyć...

Po to:

A po drugie: metody nieschematyczne mają tę wadę, że słabo się uogólniają - dziwnym więc byłby dydaktykiem ktoś kto od studentów wymagałby rozwiązywania sztampowych zadań niesztampowymi metodami.

[kmarciniak1]

Ale nie wiem czemu właściwie cytujesz to co pisał Qń w innym wątku. Nigdzie przecież nie twierdzę, że dydaktyk powinien wymagać od studentów niesztampowych rozwiązań. Jak również zdaje sobie sprawę, że metoda ze średnimi w wielu przypadkach zadań rachunku różniczkowego wielu zmiennych się nie sprawdzi. Akurat do tego zadania sprawdzi się idealnie więc napisałem, że warto by było tak to rozwiązać.

[Dasio11]

Sens tego zadania prawdopodobnie polega na nauczeniu studenta metody, którą sprawdza się w dużej ogólności. Nie osiągnie się tego celu pokazując studentowi, jak rozwiązać zadanie trickiem działającym w tym konkretnym i paru podobnych przypadkach. Można oczywiście pokazać trick w ramach ciekawostki, ale raczej nie jako "to lepsze rozwiązanie, przy którym nie trzeba się tak męczyć".