Mam problem z rozwiązaniem zagadnienia Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ y' = \frac{y}{x}+\frac{x}{y}\\
y(1) = \sqrt{2}}\)
mógłby ktoś pokazać jak się za to zabrać?
Zagadnienie Cauchy’ego
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 25 mar 2020, o 18:48
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 4 razy
Zagadnienie Cauchy’ego
Ostatnio zmieniony 25 mar 2020, o 21:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Zagadnienie Cauchy’ego
Wykonując standardowe podstawienie \(\displaystyle{ z= \frac{y}{x} }\) mamy \(\displaystyle{ y'=z'x+z}\) więc
\(\displaystyle{ z'x+z=z+ \frac{1}{z} }\)
\(\displaystyle{ z'x= \frac{1}{z} }\)
\(\displaystyle{ zz'= \frac{1}{x} }\)
a to są już zmienne rozdzielone, więc wystarczy scałkować i wstawić warunek początkowy.
\(\displaystyle{ z'x+z=z+ \frac{1}{z} }\)
\(\displaystyle{ z'x= \frac{1}{z} }\)
\(\displaystyle{ zz'= \frac{1}{x} }\)
a to są już zmienne rozdzielone, więc wystarczy scałkować i wstawić warunek początkowy.
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 25 mar 2020, o 18:48
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 4 razy
Re: Zagadnienie Cauchy’ego
Cześć! Mógłbyś zerknąć, czy jest dobrze rozwiązane?Janusz Tracz pisze: ↑25 mar 2020, o 19:14 Wykonując standardowe podstawienie \(\displaystyle{ z= \frac{y}{x} }\) mamy \(\displaystyle{ y'=z'x+z}\) więc
\(\displaystyle{ z'x+z=z+ \frac{1}{z} }\)
\(\displaystyle{ z'x= \frac{1}{z} }\)
\(\displaystyle{ zz'= \frac{1}{x} }\)
a to są już zmienne rozdzielone, więc wystarczy scałkować i wstawić warunek początkowy.
\(\displaystyle{
\begin{cases} z = \frac{y}{x} \Rightarrow y=zx \\
\frac{dy}{dx} = \frac{d(zx)}{dx} = \frac{dz}{dx} \cdot x + \frac{dx}{dx} \cdot z = \frac{dz}{dx} \cdot x + z \end{cases} \\
\frac{dz}{dx} \cdot x + z = z + \frac{1}{z} /\cdot ()^{-1}\\
\frac{dx}{dz} \cdot \frac{1}{x} = z /\cdot dz\\
\frac{dx}{x} = zdz \\
\int \frac{dx}{x} = \int zdz\\
\ln|x| + C = \frac{1}{2}z^{2}\\
z = \pm \sqrt{2\ln|x| + C}\\
\sqrt{2} = \pm \sqrt{2\ln|1| + C} / \cdot ()^{2} \\
C = 2 - 2\ln|1| \\
C = 2 \\ \\
y = \pm \sqrt{2\ln|x| +2}
}\)
Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 26 mar 2020, o 10:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Zagadnienie Cauchy’ego
Żeby podstawiać warunek początkowy trzeba to równanie wyrazić w zmiennych \(\displaystyle{ x,y}\) a nie \(\displaystyle{ z}\) które było tylko pomocnicze. Rozwiązanie ma postać:
\(\displaystyle{ y^2=x^2\left( C+2\ln \left| x\right| \right) }\)
alternatywnie
\(\displaystyle{ y= \pm x \sqrt{ C+2\ln \left| x\right|} }\)
kładąc tu \(\displaystyle{ y(1)= \sqrt{2} }\) dostajemy
\(\displaystyle{ y= x \sqrt{ 2+2\ln \left| x\right|} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 25 mar 2020, o 18:48
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 4 razy
Re: Zagadnienie Cauchy’ego
Miałam 'x' w notatkach na brudno, tylko zapomniałam dopisać tutaj Dziękuję za pomoc!Żeby podstawiać warunek początkowy trzeba to równanie wyrazić w zmiennych \(\displaystyle{ x,y}\) a nie \(\displaystyle{ z}\) które było tylko pomocnicze. Rozwiązanie ma postać:
\(\displaystyle{ y^2=x^2\left( C+2\ln \left| x\right| \right) }\)
alternatywnie
\(\displaystyle{ y= \pm x \sqrt{ C+2\ln \left| x\right|} }\)
kładąc tu \(\displaystyle{ y(1)= \sqrt{2} }\) dostajemy
\(\displaystyle{ y= x \sqrt{ 2+2\ln \left| x\right|} }\)