Grawitacja rzut na Księżycu

[Niepokonana]

Witam
Proszę o pomoc.
Oblicz na jaką maksymalną wysokość dotrze ciało wyrzucone pionowo z powierzchni księżyca z pierwszą prędkością kosmiczną dla Księżyca. Promień Księżyca \(\displaystyle{ R_{k}= \frac{1}{3,7}R_{z}}\), gdzie promień Ziemi wynosi \(\displaystyle{ R_{z}=6,4 \cdot 10^{6}m}\).

Najpierw znajduję tę pierwszą prędkość kosmiczną, a potem po prostu maksymalna wysokość dla rzutu pionowego.
Po przekształceniach wychodzi mi, że \(\displaystyle{ V_{kI}= \sqrt{g_{k}R_{k}} }\). Tylko nie mamy przyśpieszenia grawitacyjnego dla Księżyca. Jak je znaleźć?

[kerajs]

Zakładając że liczysz tak:
\(\displaystyle{ \frac{mV^2}{2}=mg_kh \\
\frac{mg_KR_K}{2}=mg_kh \\
h= \frac{R_K}{2} }\)

albo tak
\(\displaystyle{ \frac{mV^2}{2}=m( \frac{GM_K}{R_K}- \frac{GM_K}{R_K+H}) \\
\frac{g_KR_K}{2}=G \frac{M_K}{R_K^2} ( R_K- \frac{R_K^2}{R_K+H} )\\
\frac{R_K}{2}= R_K- \frac{R_K^2}{R_K+H} \\
H=R_K

}\)

to nie potrzebujesz \(\displaystyle{ g_K}\).

[Niepokonana]

A mógłby Pan bardziej wyjaśnić, o co chodzi? Drugiego sposobu w ogóle nie rozumiem, a w pierwszym to co. To tyle i już?

[kerajs]

a w pierwszym to co. To tyle i już?

Owszem. ALE (!) :
wzorek \(\displaystyle{ E_p=mgh}\), a ściślej \(\displaystyle{ \Delta E_p=mg \Delta h}\) jest poprawny jedynie dla małych zmian wysokości (gdyż wtedy zakładamy stałą wartość przyspiesz g, a w rzeczywistości ta maleje wraz z wysokością ). A wynik, jak widzisz, małą zmianą nie jest.

Dlatego sugeruję wersję drugą, o której piszesz:

Drugiego sposobu w ogóle nie rozumiem

Tu energia kinetyczna nadana ciału przekształca się w pracę w (potencjalnym) polu grawitacyjnym (pochodzącym od masy M). I taki wzorek (lub podobny) na pracę potrzebną do przesunięcia ciała o masie m z A do B masz w podręczniku:
\(\displaystyle{ W_{A \Rightarrow B} =GMm( \frac{1}{R_A}- \frac{1}{R_B} )}\)
A może nawet pojawia się tam całka której jest on wynikiem.

Nb, można z niego wyprowadzić że: \(\displaystyle{ E_p=mgh}\) , dla małych h.

[Niepokonana]

Właśnie wiem, że dla małych wysokości, które w porównaniu do promienia można zaokrąglić do zera, dlatego się zdziwiłam.

Zapomniałam kompletnie o tym wzorze na pracę. Czyli tutaj praca to po prostu energia kinetyczna?

[janusz47]

Praca to nie po prostu energia kinetyczna.

Zmiana energii kinetycznej ciała jest równa pracy siły wypadkowej (sumy sił wewnętrznych i zewnętrznych) działającej na ciało.

[Niepokonana]

Ale jak uznałam, że to tylko energia kinetyczna, to mi wyszło.

[janusz47]

Początkowa energia kinetyczna ciała wyrzuconego pionowo na Księżycu wynosiła ...?

Zmiana jego energii kinetycznej

\(\displaystyle{ \Delta E_{k} =...? }\)

[Niepokonana]

Nie rozumiem, co ma Pan na myśli.

[janusz47]

Ile wynosiła początkowa prędkość ciała wyrzuconego pionowo na Księżycu?

[korki_fizyka]

[...]

Zapomniałam kompletnie o tym wzorze na pracę. Czyli tutaj praca to po prostu energia kinetyczna?

Praca siły grawitacji = zmiana energii kinetycznej i potencjalnej
\(\displaystyle{ W = \Delta E_k + \Delta E_p = 0 - \frac{mv^2}{2} + \left( - \frac{GMm}{R+h} + \frac{GMm}{R} \right) }\)

[AiDi]

Praca siły grawitacji = zmiana energii kinetycznej i potencjalnej

Skoro bierzemy pod uwagę energię potencjalną grawitacji to już nie mówimy explicite o pracy siły grawitacji po lewej stronie równania, tylko ewentualnie pracy sił zewnętrznych bez grawitacji. Taka jest idea używania energii potencjalnej, żeby zastąpić nią pracę danej siły potencjalnej i przenieść ją na drugą stronę jako wkład do energii mechanicznej. Mamy dwie wersje twierdzenia o pracy i energii:
\(\displaystyle{ \Delta E_k=W_{\text{wszystkich sił, w tym grawitacji}}}\)
lub
\(\displaystyle{ \Delta E_m=\Delta E_k+\Delta E_{p1}+\Delta E_{p2}+\ldots=W_{\text{sił niepotencjalnych i zewnętrznych}}}\)

A janusz47 miał na myśli pewnie brak słowa "zmiana". Praca to zawsze zmiana jakiejś formy energii (o tym mówi twierdzenie o pracy i energii), tak jak przelew na konto to zmiana stanu konta, a nie sam stan konta.

[Niepokonana]

Aaa, że zmniejsza się energia kinetyczna i zwiększa potencjalna i to jest praca.
Mnie się zawsze wydawało, że grawitacja ma zerową pracę, bo jest pod kątem prostym.