Rozwiązać równanie

[hoppey]

Witam
Chciałbym się dowiedzieć w jaki sposób rozwiązać równanie tego typu:
\(\displaystyle{ z^{4} = \frac{-18}{1+ i\cdot \sqrt{3} }}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[Janusz Tracz]

Sposobów jest wiele ja uważam, że tu wygodne było by policzenie (dowolnego) pierwiastka \(\displaystyle{ 4}\) stopnia z \(\displaystyle{ \frac{-18}{1+ i \sqrt{3} }}\) i przemnożenie go przez \(\displaystyle{ i,i^2,i^3}\) co odpowiadało by obrotowi na kole jednostkowym. Ogólnie \(\displaystyle{ z_0= \frac{3}{2} +i \frac{ \sqrt{3} }{2} }\) jest taką liczbą, ze \(\displaystyle{ z_0^4=z}\) więc \(\displaystyle{ z_0i,z_0i^2,z_0i^3}\) też są pierwiastkami.

jak wpaść na z_0:    

można \(\displaystyle{ z}\) zapisać w postaci wykładniczej wtedy widać, że argument \(\displaystyle{ z}\) dzieli się (ładnie) przez \(\displaystyle{ 4}\).

[janusz47]

\(\displaystyle{ z^4 = \frac{-18}{1 + i\sqrt{3}}}\)

\(\displaystyle{ z^4 =\frac{-18(1 -i\sqrt{3})}{(1 +i\sqrt{3})(1 -i\sqrt{3})} = \frac{-18(1 - i\sqrt{3})}{4} = -\frac{9}{2} ( 1 - i\sqrt{3}) }\)

\(\displaystyle{ z = \sqrt[4]{-\frac{9}{2}} \sqrt[4]{1 -i\sqrt{3}}. }\)

\(\displaystyle{ z_{1} = \sqrt[4]{-\frac{9}{2}}\sqrt[4]{2} \left[\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \right] = \sqrt[4]{-9}\left[\frac{1}{2}- i \frac{\sqrt{3}}{2}\right] = \frac{i\sqrt{3}}{2} \left(1 - i\sqrt{3} \right ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \sqrt{3} + i \right) = \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ z_{2} = ...}\)

\(\displaystyle{ z_{3}=...}\)

\(\displaystyle{ z_{4}=...}\)

Dodano po 14 minutach 14 sekundach:
Jak zauważył Janusz Tracz , każde następne rozwiązanie różni się od poprzedniego miarą kąta \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}. }\) Znajdujemy je, mnożąc rozwiązanie poprzednie przez jednostkę urojoną \(\displaystyle{ i. }\)