Problem z zadaniem - różniczkowanie po parametrze

[spellthy]

Wykorzystując różniczkowanie po parametrze policzyć całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \cos(tx)e ^{-x^2} \dd x}\)

[Janusz Tracz]

Niech \(\displaystyle{ \mathcal{I}(t)=\int_{0}^{ \infty } \cos(tx)e ^{-x^2} \dd x }\) wtedy

\(\displaystyle{ \frac{ \dd \mathcal{I}(t) }{ \dd t} = \int_{0}^{ \infty } \frac{ \partial \cos(tx)}{ \partial t} e ^{-x^2} \dd x = - \int_{0}^{ \infty } \sin (tx)x e ^{-x^2} \dd x= \int_{0}^{ \infty } \sin (tx) \dd \left( \frac{e^{-x^2}}{2} \right) = }\)


\(\displaystyle{ =\underbrace{\left( \sin (tx) \cdot \frac{e^{-x^2}}{2}\right) \Bigg|_{0}^{ \infty }}_0 - \int_{0}^{ \infty } \frac{e^{-x^2}}{2} \dd \left( \sin (tx) \right)=- \frac{1}{2} t \int_{0}^{ \infty }e^{-x^2}\cos (tx) \dd x = - \frac{t \mathcal{I}(t) }{2} }\)

Więc dostajemy równanie różniczkowe

\(\displaystyle{ \frac{ \dd \mathcal{I}(t) }{ \dd t}= - \frac{t \mathcal{I}(t) }{2} }\)

z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ \mathcal{I}(0)=\int_{0}^{ \infty } e ^{-x^2} \dd x = \frac{ \sqrt{ \pi } }{2} }\) (zakładam, że to znana równość)

równanie samo w sobie jest już proste bo są to zmienne rozdzielone

\(\displaystyle{ \frac{ \dd \mathcal{I}(t) }{ \mathcal{I}(t) }= - \frac{t }{2} \dd t \ \ \Bigg| \ \ \int_{}^{} }\)

\(\displaystyle{ \ln \left| \mathcal{I}(t) C \right|= - \frac{t^2}{4} }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{I}(t)= Ce^{ - \frac{t^2}{4}}}\)

Stała \(\displaystyle{ C}\) jest różna w różnych miejsca ale to i tak dowolna stała. Teraz dopiero kładę warunek początkowy co daje:

\(\displaystyle{ \mathcal{I}(t)=\frac{ \sqrt{ \pi } }{2} e^{ - \frac{t^2}{4}}}\)

zatem ostatecznie:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \cos(tx)e ^{-x^2} \dd x=\frac{ \sqrt{ \pi } }{2} e^{ - \frac{t^2}{4}}}\)