Rozwiązanie równania

[kaczy1no]

Witam forumowiczów,
Na co dzień nie zajmuje się konkretnie matematyką, lecz lubię majsterkować.
Podczas pracy nad kolejnym projektem doszedłem do etapu, który przewyższa moje umiejętności matematyczne.
Mianowicie mam 4 równania z 3 niewiadomymi, nie jestem jednak w stanie wyznaczyć niewiadomych.
Czy możecie pomóc w tej kwestii ?

Oczywiście proszę o wzięcie poprawki, iż nie jestem matematykiem i o delikatne traktowanie.

Poniżej równania:

\(\displaystyle{ x^2 = L_1^2 - y^2 - z^2}\)

\(\displaystyle{ y^2 = L_2^2 - z^2 - (x - K_1)^2}\)

\(\displaystyle{ z^2 = L_3^2 - (x - K_1)^2 -(y - K_4)^2}\)

\(\displaystyle{ L_4^2 = x^2 + (y - K_2)^2 + z^2}\)


\(\displaystyle{ L_1,L_2,L_3,L_4,K_1,K_2,K_4:}\) stałe dodatnie
Niewiadome: \(\displaystyle{ x,y,z}\)

Pozdrawiam
Paweł

[Janusz Tracz]

Mianowicie mam 4 równania z 3 niewiadomymi

Zatem masz więcej wymogów (równań) niż swobody czy przestrzeni w której możesz wyznaczyć rozwiązania. Geometrycznie może na przykład oznaczać to, że jaki punkt Twojej konstrukcji jest w dwóch różnych miejscach jednocześnie (albo, że musiał by być). To jest oczywiście niemożliwe z matematycznego punktu widzenia ale jak walniesz młotkiem podczas montażu to się może udać. Widzę kilka możliwych sposobów podejście:

\(\displaystyle{ \bullet}\) Zastanówmy się, czy faktycznie nie uda się wyznaczyć rozwiązania \(\displaystyle{ x,y,z}\). To, że mamy więcej równań jeszcze nie oznacza, że nie da się ich spełnić jednocześnie. Zastanów się, czy na pewno wszystkie równania są istotne i czy wszystkie wnoszą jaką nową informację którą chcesz zakodować.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeśli faktycznie nie ma takich \(\displaystyle{ x,y,z}\) to czy twoje stałe \(\displaystyle{ L_1,L_2,L_3,L_4,K_1,...}\) to faktycznie stałe? Czy nie dało by się potraktować jakiejś stałej \(\displaystyle{ L_i,K_j}\) jako zmiennej. Wtedy będziesz miał \(\displaystyle{ 4}\) równania i \(\displaystyle{ 4}\) niewiadome.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeśli \(\displaystyle{ L_i}\) jest nie do ruszenia to możesz spróbować na przykład wyznaczyć \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniające tylko najbardziej istotne równania. Możesz też wyznaczyć zestawy \(\displaystyle{ x,yz}\) spełniające układ bez jednego z równań a potem brać średnią \(\displaystyle{ x_{śr},y_{śr},z_{śr}}\). Takie rozwiązanie jednak

Poza tym sam ukłąd równań wygląda jak przecięcie się \(\displaystyle{ 4}\) kul w przestrzeni. Z pierwszego równania mamy:

\(\displaystyle{ L_1^2=x^2+y^2+z^2}\)

a kolejne trzy równania to nic innego jak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+z^2+ \text{linowa część 2} = L_2^2 \\ x^2+y^2+z^2+ \text{linowa część 3} = L_3^2 \\ x^2+y^2+z^2+ \text{linowa część 4} = L_4^2\end{cases} }\)

Zatem wszystko sprowadza się do:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \text{linowa część 2} = L_2^2-L_1^2 \\ \text{linowa część 3} = L_3^2-L_1^2 \\ \text{linowa część 4} = L_4^2-L_1^2\end{cases} }\)

Przy czym przez część liniową rozumiem to co zostanie w każdym z równań poza \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2}\), które i tak ma się równać \(\displaystyle{ L_1^2}\). Mamy zatem układ \(\displaystyle{ 3}\) równań liniowych z \(\displaystyle{ 3}\) niewiadomymi. Polecam jakiś program matematyczny i wzory , z których będziesz mógł sprawdzić jakie warunki muszą spełniać stałe by istniało rozwiązanie.

Te części liniowe to dokładnie (o ile się nie pomyliłem) coś takiego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2xK_1+K_1^2= L_2^2-L_1^2 \\ -2xK_1 -2yK_2+K_1^2+K_2^2=L_3^2-L_1^2 \\ -2yK_2+K_2^2=L_4^2-L_1^2\end{cases} }\)

Z pierwszego i trzeciego równania ma natychmiast odpowiedź:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{L_2^2-L_1^2 - K_1^2}{-2K_1} \\ y= \frac{L_4^2-L_1^2 - K_2^2}{-2K_2} \end{cases} }\)

Widać zatem, że aby układ był spełniony musi zajść jeszcze \(\displaystyle{ 2}\) równanie czyli po podstawianiu \(\displaystyle{ x,y}\):

\(\displaystyle{ L_2^2-L_1^2-K_1^2+ L_4^2-L_1^2-K_2^2 +K_1^2+K_2^2=L_3^2-L_1^2 }\)

Co upraszcza się do:

\(\displaystyle{ L_2^2+L_4^2=L_3^2+L_1^2}\)

Jest to warunek rozwiązania tego układu równań. Jeśli taka zależność pomiędzy zmiennymi będzie pełniona to rozwiązaniami będzie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{L_2^2-L_1^2 - K_1^2}{-2K_1} \\ y= \frac{L_4^2-L_1^2 - K_2^2}{-2K_2} \end{cases} }\)

oraz \(\displaystyle{ z= \pm \sqrt{L_1^2-x^2-y^2} }\)

Dodano po 3 minutach 38 sekundach:
Jeśli jednak \(\displaystyle{ L_2^2+L_4^2=L_3^2+L_1^2}\) nie zachodzi. To zastanów się czy nie możesz zmieniać jakiejś \(\displaystyle{ L_i}\) tak by warunek jednak został spełniony. Ponieważ jest to symetryczne możesz przyjąć, że \(\displaystyle{ L_1}\) może ulegać zmianie. Wtedy całość traktujesz jak funkcję zmiennej \(\displaystyle{ L_1}\).

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2xK_1+K_1^2= L_2^2-L_1^2 \\ -2xK_1 -2yK_2+K_1^2+K_2^2=L_3^2-L_1^2 \\ -2yK_2+K_2^2=L_4^2-L_1^2\end{cases} }\)

W drugim równaniu masz błąd - powinno być

\(\displaystyle{ -2xK_1 - 2yK_4 + K_1^2 + K_4^2 = L_3^2 - L_1^2}\)

Ostatecznie więc: przy oznaczeniach

\(\displaystyle{ x_0 = \frac{L_1^2 - L_2^2 + K_1^2}{2K_1} \\[1ex]
y_1 = \frac{L_2^2 - L_3^2 + K_4^2}{2K_4} \\[1ex]
y_2 = \frac{L_1^2 - L_4^2 + K_2^2}{2K_2}}\)

warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia rozwiązania wyjściowego układu jest

\(\displaystyle{ \begin{cases}
y_1 = y_2 \\
\left( x_0 \right)^2 + \left( y_1 \right)^2 \le L_1^2
\end{cases}}\)

i wtedy układ ma dokładnie dwa rozwiązania \(\displaystyle{ \left< x, y, z \right>}\), które wyrażają się wzorem

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x = x_0 \\
y = y_1 \\
z = \pm \sqrt{L_1^2 - x^2 - y^2}
\end{cases}}\)

[Janusz Tracz]

Dzięki za wyłapanie "literówki".

[kaczy1no]

Dokładnie o to mi chodziło !
Dziękuję Wam.

Dla pewności proszę o weryfikację, czy dobrze to rozumiem i przeprowadzam obliczenia ?
Punkt Q zawsze znajduje się w granicach narysowanego sześcianu.
Poglądowy rysunek:

\(\displaystyle{ K_1 = |AB|}\)
\(\displaystyle{ K_2 = |AD|}\)
\(\displaystyle{ K_4 = |BC|}\)


\(\displaystyle{ L_1 = |AQ|}\)
\(\displaystyle{ L_2 = |BQ|}\)
\(\displaystyle{ L_3 = |CQ|}\)
\(\displaystyle{ L_4 = |DQ|}\)

\(\displaystyle{ Q}\) - punkt w przestrzeni o współrzędnych \(\displaystyle{ x,y,z}\)

Na podstawie współrzędnych punktu \(\displaystyle{ Q (x,y,z)}\) obliczam długość odcinków \(\displaystyle{ L_1,L_2,L_3,L_4}\):

\(\displaystyle{ L_1 = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2} }\)

\(\displaystyle{ L_2 = \sqrt{(x-K_1)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2} }\)

\(\displaystyle{ L_3 = \sqrt{(x-K_1)^2 + (y-K_4)^2 + (z-0)^2} }\)

\(\displaystyle{ L_4 = \sqrt{(x-0)^2 + (y-K_2)^2 + (z-0)^2} }\)

Nie potrafiłem jednak zrobić tego w drugą stronę. To znaczy mając długości odcinków \(\displaystyle{ L_1,L_2,L_3,L_4}\) obliczyć pozycji punktu \(\displaystyle{ Q(x,y,z)}\). W tym mi pomogliście.
Jeszcze jedno pytanie. Dlaczego przy \(\displaystyle{ z}\) jest znak \(\displaystyle{ \pm}\) ?
Rozumiem, że mogę przeliczać teraz układ w dwie strony ?

[Dasio11]

Punkt Q zawsze znajduje się w granicach narysowanego sześcianu.

Skoro to jest sześcian, to chyba \(\displaystyle{ K_1 = K_2 = K_3 = K_4}\) ?

Jeszcze jedno pytanie. Dlaczego przy \(\displaystyle{ z}\) jest znak \(\displaystyle{ \pm}\) ?

Dlatego że jeśli rozwiązaniem podanego przez Ciebie układu jest punkt \(\displaystyle{ \left< x, y, z \right>}\), to jest nim również punkt \(\displaystyle{ \left< x, y, -z \right>}\). Mówiąc prosto: jeśli istnieje punkt spełniający układ równań, to takie punkty są dwa i każdy z nich można otrzymać z drugiego przez odbicie względem ściany górnej sześcianu.

[kaczy1no]

Rozumiem odnośnie \(\displaystyle{ \pm z}\). Nie brałem tego pod uwagę, dzięki.
Jeśli chodzi o "Skoro to jest sześcian, to chyba \(\displaystyle{ K_1=K_2=K_3=K_4}\) ?"
Na rysunku jest sześcian, ale to jest sytuacja idealna, nigdy tak nie będzie, natomiast kąty między osiami będą zachowane.

[kaczy1no]

Dzień dobry,
Mam jeszcze prośbę,
Zmieniłem położenie początku układu współrzędnych, aby mi się lepiej pracowało.
Rysunek przedstawiający nowy układ:
Spowodowało to, że musiałem zmodyfikować wzory na obliczanie \(\displaystyle{ Q _{x,y,z}}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{ L _{1} ^{2}- L _{2} ^{2}+K _{1} ^{2} }{2K _{1} } }\)

\(\displaystyle{ y= \frac{ L _{3} ^{2}- L _{2} ^{2}+K _{4} ^{2} }{2K _{4} } }\)

\(\displaystyle{ z=K _{5}- \sqrt{ L_{4} ^{2}-x ^{2}-y ^{2}} }\)

Przeprowadziłem jeszcze jedną modyfikację. Odcinki nie schodzą się w jednym punkcie.
To się pojawił problem, który mnie przerasta. Udało mi się zmodyfikować wzory na obliczanie długości \(\displaystyle{ L _{1} ,L _{2} ,L _{3} ,L _{4} }\), wzory poniżej.
Spowodowało to jednak, że wzory na obliczanie \(\displaystyle{ Q _{x,y,z}}\) już nie są poprawne.

\(\displaystyle{ L _{1}= \sqrt{(0-(Q _{x}-0,5T))^2 +(K _{2} -(Q _{y}+0,5T))^2+( K_{5}-Q _{z} )^2} }\)

\(\displaystyle{ L _{2}= \sqrt{(K _{1} -(Q _{x}+0,5T))^2 +(K _{2} -(Q _{y}+0,5T))^2+( K_{5}-Q _{z} )^2} }\)

\(\displaystyle{ L _{3}= \sqrt{(K _{3} -(Q _{x}+0,5T))^2 +(K _{4} -(Q _{y}-0,5T))^2+( K_{5}-Q _{z} )^2} }\)

\(\displaystyle{ L _{3}= \sqrt{(K _{3} -(Q _{x}+0,5T))^2 +(K _{4} -(Q _{y}-0,5T))^2+( K_{5}-Q _{z} )^2} }\)

\(\displaystyle{ L _{4}= \sqrt{(0 -(Q _{x}-0,5T))^2 +(0 -(Q _{y}-0,5T))^2+( K_{5}-Q _{z} )^2} }\)

Czy może wiecie, jak zmodyfikować te wzory tak aby był w nich uwzględniona zmienna "T" z rysunku ?
T- wymiary kwadratu, do którego wierzchołków schodzą się odcinki \(\displaystyle{ L _{1} ,L _{2} ,L _{3} ,L _{4} }\)
Punkt Q znajduje się w miejscu przecięcia się przekątnych kwadratu równoległego do płaszczyzny XY.

Z góry dziękuje za pomoc.
Pozdrawiam
Paweł