Dzień dobry,
Mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania:
Ile jest rozwiązań \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + ... + x_{k} = n }\) w liczbach naturalnych
a) \(\displaystyle{ x_{i} \ge 0 }\)
b) \(\displaystyle{ x_{i} > i }\)
Odpowiedź do podpunktu a to \(\displaystyle{ \frac{(n+k-1)!}{n!(k-1)!} }\) ale nie wiem skąd się wzięło \(\displaystyle{ (n+k-1)! }\).
W podpunkcie b nie wiem czym jest \(\displaystyle{ i}\).
Bardzo proszę o podpowiedź.
Ile jest rozwiązań równania
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Ile jest rozwiązań równania
a)
b) to znaczy: \(\displaystyle{ x_1>1\wedge x_2>2\wedge\cdots}\)
Pozdrawiam
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kombinacja_z_powt%C3%B3rzeniami
b) to znaczy: \(\displaystyle{ x_1>1\wedge x_2>2\wedge\cdots}\)
Pozdrawiam
Re: Ile jest rozwiązań równania
Dziękuję za odpowiedź, przykład a jest dla mnie teraz jasny.
Z przykładem b mam niestety dalej problem.
Wywnioskowałam, że zależnie od wartości poszczególnych \(\displaystyle{ x_{i}}\) wartość równania może być \(\displaystyle{ \le n}\).
Wiem też że będzie \(\displaystyle{ k-1}\) elementowych kombinacji tylko nie wiem z jakiego zbioru.
Z przykładem b mam niestety dalej problem.
Wywnioskowałam, że zależnie od wartości poszczególnych \(\displaystyle{ x_{i}}\) wartość równania może być \(\displaystyle{ \le n}\).
Wiem też że będzie \(\displaystyle{ k-1}\) elementowych kombinacji tylko nie wiem z jakiego zbioru.
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Ile jest rozwiązań równania
Niech
\(\displaystyle{ x_1=1+a_1\wedge x_2=2+a_2\wedge\cdots \wedge x_k=k+a_k }\)
wtedy rozwiązania spełniające warunki równania b) spełnią
\(\displaystyle{ a_1 +a_2 +\cdots a_k= n-(1+2+\cdots +k)}\)
i dalej jak w a)
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ x_1=1+a_1\wedge x_2=2+a_2\wedge\cdots \wedge x_k=k+a_k }\)
wtedy rozwiązania spełniające warunki równania b) spełnią
\(\displaystyle{ a_1 +a_2 +\cdots a_k= n-(1+2+\cdots +k)}\)
i dalej jak w a)
Pozdrawiam
Re: Ile jest rozwiązań równania
Bardzo dziękuję za odpowiedź.
Ciężko mi uwierzyć że odpowiedź ma tak wyglądać.
\(\displaystyle{ \binom{n-\ (1+2+\ ...\ +\ k)\ -1\ }{k-1\ }}\)
Ciężko mi uwierzyć że odpowiedź ma tak wyglądać.
\(\displaystyle{ \binom{n-\ (1+2+\ ...\ +\ k)\ -1\ }{k-1\ }}\)