Optymalny poziom kapitału produkcyjnego - funkcja Cobba-Douglasa

[Kamila_sky]

Witam,
Byłabym wdzięczna za pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania z ekonomii, bądź podania wskazówek które pomogłyby w rozwiazaniu. Szukałam teorii na ten temat w różnych podręcznikach, jednak nie udało mi się znaleźć wskazówek które umożliwiłyby mi rozwiązanie:

Dane są cechy pewnej gospodarki:
✓stosowana technologia opisana jest funkcją produkcji Cobba-Douglasa ze stałymi efektami skali, a także z elastycznością produkcji wzgledem kapitału \(\displaystyle{ \alpha = 0,4 }\)
✓roczna stopa deprecjacji kapitału jest stała i wynosi: \(\displaystyle{ r = 3 \%}\)
✓ceny stabilne, a realna stopa procentowa wynosi \(\displaystyle{ \delta = 0,09 }\)
Następuje zmiana technologii produkcji, liczba zatrudnionych nie ulega zmianie, ale wzrasta elastyczność produkcji względem kapitału do poziomu \(\displaystyle{ \alpha^*=0,45 }\) .
Oblicz o ile spadnie nowy, optymalny poziom kapitału produkcyjnego \(\displaystyle{ K^* }\) (jeżeli przed zmianą wynosił on \(\displaystyle{ K }\) ).

[janusz47]

Z treści zadania wynika, że mamy do czynienia z makroekonomicznym Modelem Sylowa.

W modelu tym

\(\displaystyle{ \frac{K}{K^{\alpha}} = K^{1 -\alpha} = \frac{r}{\delta} \ \ (1) }\)

Zgodnie z treścią zadania porównujemy dwa przypadki

1.
\(\displaystyle{ \frac{K_{1}}{K^{0,4}_{1}} = K^{0,60}_{1} = \frac{0,03}{0,09} = \frac{1}{3} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ 0,6\cdot \ln K_{1} = ln(1) - \ln(3) = 0 - \ln(3) = -\ln(3)}\)

\(\displaystyle{ K_{1} = e^{- \frac{\ln(3)}{0,60}} = 0,16025 }\)


2.

\(\displaystyle{ \frac{K_{2}}{K^{0,45}_{2}} = K^{0,55}_{2} = \frac{0,03}{0,09} = \frac{1}{3} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ 0,55\cdot \ln K_{2} = ln(1) - \ln(3) = 0 - \ln(3) = -\ln(3)}\)

\(\displaystyle{ K_{2} = e^{- \frac{\ln(3)}{0,55}} = 0, 13568 }\)

Nowy optymalny poziom kapitału spadnie o \(\displaystyle{ \Delta K = K_{1} - K_{2} = 0,16025 -0,13568 = 0.024570 \approx 2,5\% .}\)

[Kamila_sky]

Dziękuję za odpowiedź, przybliżona odpowiedz do zadania jest
jednak podana jako \(\displaystyle{ \frac{1}{3} K }\). Podane rozwiązanie daje rezultat ok \(\displaystyle{ 0.15 K }\). Zastanawiam się czy to może błąd odpowiedzi czy jednak coś powinno być policzone inaczej?

[janusz47]

Z treści zadania iloraz \(\displaystyle{ \frac{r}{\delta} = \frac{1}{3} }\)jest stały.

Zmieniają się w funkcji Cobba-Douglasa elastyczności produkcji względem kapitału - z \(\displaystyle{ \alpha=0,40 }\) na \(\displaystyle{ \alpha_{1}=0,45 }\)

Z Pani odpowiedzi wynika, że nie o ile, ale ile razy spadnie optymalny poziom kapitału.

Wtedy

\(\displaystyle{ \frac{K^{\alpha}}{K^{\alpha_{1}}} = \frac{r}{\delta}.}\)

\(\displaystyle{ \frac{K^{0,4}}{K^{0,45}} = \frac{1}{3}.}\)