[Podzielność] Reguła podzielności przez 7

Projekty i prace naukowe i badawcze. Nowatorskie idee matematyczne. Literatura specjalistyczna.
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3044
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 816 razy

[Podzielność] Reguła podzielności przez 7

Post autor: loitzl9006 » 5 lut 2020, o 21:07

Przedstawiam niezbyt powszechnie znaną regułę podzielności przez \(\displaystyle{ 7}\). Może komuś się przyda.
Myślę że jest prostsza od tej którą wszyscy znamy (z potęgami trójek).

Liczba naturalna \(\displaystyle{ a>9}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\) tylko wtedy, gdy liczba \(\displaystyle{ a}\) zapisana z pominięciem cyfry jedności, zsumowana z pięciokrotnością cyfry jedności liczby \(\displaystyle{ a}\), jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\).

Przykład 1:
Sprawdzamy, czy \(\displaystyle{ 182}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\).
\(\displaystyle{ 18+5\cdot 2 = 18+10 = 28}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 28}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\), to \(\displaystyle{ 182}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\).

Przykład 2:
Sprawdzamy, czy \(\displaystyle{ 2619}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\).
\(\displaystyle{ 261+5\cdot 9 = 261+45 = 306}\)
Sprawdzamy, czy \(\displaystyle{ 306}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\).
\(\displaystyle{ 30+5\cdot 6 = 30+30 = 60}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 60}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\), to \(\displaystyle{ 2619}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\).

Dowód:
Niech \(\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, ... , a_n}\) będą cyframi liczby \(\displaystyle{ a}\).
Wówczas \(\displaystyle{ a=a_0\cdot 10^n+a_1\cdot 10^{n-1}+a_2\cdot 10^{n-2}+...+a_k\cdot 10^{n-k}+...+a_{n-1}\cdot 10^1+a_n}\).
Liczba \(\displaystyle{ a}\) zapisana bez cyfry jedności jest równa \(\displaystyle{ \frac{a_0\cdot 10^n+a_1\cdot 10^{n-1}+a_2\cdot 10^{n-2}+...+a_k\cdot 10^{n-k}+...+a_{n-1}\cdot 10^1}{10}}\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \frac{a_0\cdot 10^n+a_1\cdot 10^{n-1}+a_2\cdot 10^{n-2}+...+a_k\cdot 10^{n-k}+...+a_{n-1}\cdot 10^1}{10}+5a_n=7x}\) dla pewnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, ... , a_n, x}\).
Mnożąc tę równość stronami przez \(\displaystyle{ 10}\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ a_0\cdot 10^n+a_1\cdot 10^{n-1}+a_2\cdot 10^{n-2}+...+a_k\cdot 10^{n-k}+...+a_{n-1}\cdot 10^1+50a_n=70x \\ a_0\cdot 10^n+a_1\cdot 10^{n-1}+a_2\cdot 10^{n-2}+...+a_k\cdot 10^{n-k}+...+a_{n-1}\cdot 10^1+a_n+49a_n=70x \\ a+49a_n=70n \\ a=70n-49a_n=7(10n-7a_n)}\)
co kończy dowód
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ