W C[x] znaleźć resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Kristoffer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 3 lut 2020, o 18:41
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 15 razy

W C[x] znaleźć resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian.

Post autor: Kristoffer » 3 lut 2020, o 18:49

W \(\displaystyle{ \mathbb{C}[x]}\) znajdź resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ V(x) = x^{300}+2x^{14}+2}\) przez wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^{3}+1}\).
Ostatnio zmieniony 3 lut 2020, o 18:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2868
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 939 razy

Re: W C[x] znaleźć resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian.

Post autor: Janusz Tracz » 3 lut 2020, o 19:12

Reszta jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 2}\) (lub niżej), więc

\(\displaystyle{ W(x)=(x^3+1)Q(x)+ax^2+bx+c}\)

Znajdź pierwiastki \(\displaystyle{ x^3+1=0}\) podstaw pod \(\displaystyle{ W(x)}\) a dostaniesz układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ a,b,c}\).

Kristoffer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 3 lut 2020, o 18:41
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 15 razy

Re: W C[x] znaleźć resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian.

Post autor: Kristoffer » 4 lut 2020, o 16:30

Jakby ktoś szukał pomocy:
Tak jak Pan Janusz Tracz napisał - zaczynamy od:
1)
\(\displaystyle{
V(x) = x^{300}+2x^{14}+2 \\
V(x)=(x^3+1)Q(x)+ax^2+bx+c
}\)


2) Obliczamy pierwiastki \(\displaystyle{ x^3+1}\)
Podpowiem, że będą to:
\(\displaystyle{
x_1=-1 \\
x_2=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \\
x_3=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \\
}\)


3) Wyznaczamy resztę z dzielenia dla \(\displaystyle{ x=-1}\):
\(\displaystyle{ V(-1) = a-b+c = (-1)^{300}+2(-1)^{14}+2 = 5}\)

4) Nie damy rady podnieść kolejnych pierwiastków (x_2 i x_3) do potęgi 300 czy nawet 14, więc zamieniamy je na postać wykładniczą.
Podpowiem, że będzie to:
\(\displaystyle{ e^{i\frac{ \pi }{3}}}\)

5) Obliczamy \(\displaystyle{ V(x_2).}\)
Podpowiem, że będzie to:
\(\displaystyle{
e^{i\frac{300\pi}{3}} = e^{i100\pi} = e^{i99\pi} \cdot e^{i\pi} = 1 \\
2e^{i\frac{14\pi}{3}} = 2e^{i\frac{2\pi}{3}} = 2(\cos{\frac{2\pi}{3}}+i\sin{\frac{2\pi}{3}}) = 2(-\frac{1}{2}+i\frac{ \sqrt3}{2}) = -1+i\sqrt{3} \\
V(x_2) = 1-1+i\sqrt{3}+2 = 2+i\sqrt{3}
}\)


6) Obliczamy analogicznie \(\displaystyle{ V(x_3)}\)

7) Rozwiązujemy powstałe układy równań:
\(\displaystyle{
\begin{cases}
a-b+c=5 \\
(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})a+(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})b+c=2+i\sqrt{3} \\
\text{oraz trzeci układ, który wyliczyłeś z }V(x_3)
\end{cases}
}\)


8) Podstawiamy \(\displaystyle{ a, b, c}\) pod:
\(\displaystyle{ R(x) = ax^2+bx+c }\)
Ostatnio zmieniony 5 lut 2020, o 10:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2868
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 939 razy

Re: W C[x] znaleźć resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian.

Post autor: Janusz Tracz » 4 lut 2020, o 16:47

Kristoffer pisze:
4 lut 2020, o 16:30
4) Nie damy rady podnieść kolejnych pierwiastków (\(\displaystyle{ x_2}\) i \(\displaystyle{ x_3}\)) do potęgi 300 czy nawet 14, więc zamieniamy je na postać wykładniczą.
Podpowiem, że będzie to:
\(\displaystyle{ e^{i\frac{ \pi }{3}}}\)
Akurat do potęgi \(\displaystyle{ 300}\) łatwo się podnoś \(\displaystyle{ x_2}\) i \(\displaystyle{ x_3}\) bez postaci wykładniczej czy trygonometrycznej. I można to zrobić za jednym zamachem, zauważmy jednak, że:

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \pm i\frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^{300}= \left( \left( \frac{1}{2} \pm i\frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^{3}\right)^{100} }\)

Na boku szybko można policzyć, że \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \pm i\frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^{3} = -1 }\) więc

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \pm i\frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^{300}= \left( \left( \frac{1}{2} \pm i\frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^{3}\right)^{100} =(-1)^{100}=1 }\)
Kristoffer pisze:
4 lut 2020, o 16:30
5) Obliczamy V(x_2).
Podpowiem, że będzie to:
\(\displaystyle{
e^{i\frac{300\pi}{3}} = e^{i100\pi} = e^{i99\pi} * e^{i\pi} = 1 \\
2e^{i\frac{14\pi}{3}} = 2e^{i\frac{2\pi}{3}} = 2(\cos{\frac{2\pi}{3}}+i\sin{\frac{2\pi}{3}}) = 2(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}) = -1+\sqrt{3} \\
V(x_2) = 1-1+\sqrt{2}+2 = 2+\sqrt{3}
}\)
Taki sposób jest ok. Jeśli jednak chciałbyś wykonywać niektóre obliczenia szybciej można zauważyć, że \(\displaystyle{ e^{i100\pi}}\) jest to liczba leżąca na okrąg jednostkowym po \(\displaystyle{ 50}\) pełnych obrotach czyli \(\displaystyle{ 1}\).

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18308
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3087 razy

Re: W C[x] znaleźć resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian.

Post autor: a4karo » 4 lut 2020, o 18:11

Brrrr.
Jeżeli `k` jest nieparzyste, to \(a^k+1=(a+1)(a^{k-1}-a^{k-2}+a^{k-3}-\dots+1)\), zatem `a^k+1` dzieli się przez `a+1`
\(x^{300}=\red {x^3(x^{297}+1)}-(\blue {x^3+1})+1\). Kolory dzielą się przez `x^3+1` więc pierwszy składnik daje resztę `1`
\(2x^{14}+2=2(x^{14}+1)=2[x^2(x^{12}-1)+x^2+1]\), \(x^{12}-1=(x^3-1)(x^3+1)(x^6+1)\) dzieli się przez `x^3+1`, więc reszta tego kawałka jest `2x^2+2`

Reszta z dzielenia wielomianów w zadaniu jest zatem `2x^2+3`

Dodano po 5 minutach 6 sekundach:
===================================================================
Można też inaczej: przy dzieleniu przez `x^3+1` utożsamiamy `x^3` z `-1`.
Zatem
\(x^{300}+2x^{14}+2=(x^3)^{100}+2x^2(x^3)^4+2=(-1)^{100}+2x^2(_1)^4+2=2x^2+3\)

ODPOWIEDZ