Obliczyć średnice wału (korzystając z metody Hubera), wiedząc, że: \(\displaystyle{ P=8\,kN, l=8\,kN, a_1 = 0,2\,m, a_2= 0,3\,m, \alpha = 30^\circ, k_g= 120\,MPa.}\)
Rysunek:
średnica wału - metoda Hubera
średnica wału - metoda Hubera
Ostatnio zmieniony 2 lut 2020, o 20:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
siwymech
- Użytkownik
- Posty: 2429
- Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Targ
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 608 razy
Re: średnica wału - metoda Hubera
Próba pomocy. Musi Pan jakoś zacząć 
Do wyznaczenia średnic-y wału w przekrojach- przekroju niebezpiecznym( tam gdzie kumulują sie największe naprężenia) konieczne wyznaczenie w poszczególnych przekrojach napreżenia zginające i skręcające.
\(\displaystyle{ \sigma _{z}= \frac{M _{z} }{W _{x} } \le kg }\), stąd
\(\displaystyle{ d \ge \sqrt{ \frac{10M _{z} }{k _{g} } } }\), (1)
Gdzie;
\(\displaystyle{ W _{x} \approx 0,1d ^{3} }\)
\(\displaystyle{ M _{z}= \sqrt{M ^{2} _{g}+ 0,75 \cdot M ^{2} _{s} } }\)
........................................................................
1. Nieznaną siłę \(\displaystyle{ S }\) obciążającą koło wyznaczymy z równości momentów obrotowych(skręcajacych) wzgl.osi wału;
\(\displaystyle{ M _{so1}=M _{so2} }\)
\(\displaystyle{ P \cdot a _{1}=S \cdot a _{2} }\), (2)
\(\displaystyle{ S= \frac{P \cdot a _{1} }{a _{2} } }\), (3)
2. Określenie naprężeń zginających.
2.1.Zginanie wału zachodzi w dwóch płaszczyznach poziomej od skladowej(poziomej) siły \(\displaystyle{ P}\) oraz pionowej od siły \(\displaystyle{ S}\) i składowej pionowej siły \(\displaystyle{ P}\)
/Rozkładamy siłę P na dwie skladowe wzdłuż dwóch prostopadłych osi x i y, znamy kąt \(\displaystyle{ \alpha }\)/
2.2. Tworzymy schematy belek w płaszczyźnie poziomej i pionowej z naniesionymi obciążeniami- pogrupowanymi w płaszczyźnie poziomej i pionowej i przystepujemy do określenia momentów zginających w tych płaszczyznach-\(\displaystyle{ Mg _{x} ,Mg _{y} }\). Dobrze by było narysować wykresy w skali.
2.3 Składamy momenty gnące z płaszczyżny poziomej i pionowej- istotne w punktach gdzie zamocowane kola.
\(\displaystyle{ Mg= \sqrt{Mg ^{2} _{x}+ Mg ^{2} _{y}} }\)
3. Obliczamy moment skręcający- patrz wzór (2) - występujący między kolami i pomniejszamy go o współczynnik redukcyjny - tu przyjęty jako:\(\displaystyle{ 0,75}\)
4. Przechodzimy do wzoru (1) licząc średnice w przekrojach i wykreślamy zarys teoretyczny wału- paraboloidę obrotową.
Do wyznaczenia średnic-y wału w przekrojach- przekroju niebezpiecznym( tam gdzie kumulują sie największe naprężenia) konieczne wyznaczenie w poszczególnych przekrojach napreżenia zginające i skręcające.
\(\displaystyle{ \sigma _{z}= \frac{M _{z} }{W _{x} } \le kg }\), stąd
\(\displaystyle{ d \ge \sqrt{ \frac{10M _{z} }{k _{g} } } }\), (1)
Gdzie;
\(\displaystyle{ W _{x} \approx 0,1d ^{3} }\)
\(\displaystyle{ M _{z}= \sqrt{M ^{2} _{g}+ 0,75 \cdot M ^{2} _{s} } }\)
........................................................................
1. Nieznaną siłę \(\displaystyle{ S }\) obciążającą koło wyznaczymy z równości momentów obrotowych(skręcajacych) wzgl.osi wału;
\(\displaystyle{ M _{so1}=M _{so2} }\)
\(\displaystyle{ P \cdot a _{1}=S \cdot a _{2} }\), (2)
\(\displaystyle{ S= \frac{P \cdot a _{1} }{a _{2} } }\), (3)
2. Określenie naprężeń zginających.
2.1.Zginanie wału zachodzi w dwóch płaszczyznach poziomej od skladowej(poziomej) siły \(\displaystyle{ P}\) oraz pionowej od siły \(\displaystyle{ S}\) i składowej pionowej siły \(\displaystyle{ P}\)
/Rozkładamy siłę P na dwie skladowe wzdłuż dwóch prostopadłych osi x i y, znamy kąt \(\displaystyle{ \alpha }\)/
2.2. Tworzymy schematy belek w płaszczyźnie poziomej i pionowej z naniesionymi obciążeniami- pogrupowanymi w płaszczyźnie poziomej i pionowej i przystepujemy do określenia momentów zginających w tych płaszczyznach-\(\displaystyle{ Mg _{x} ,Mg _{y} }\). Dobrze by było narysować wykresy w skali.
2.3 Składamy momenty gnące z płaszczyżny poziomej i pionowej- istotne w punktach gdzie zamocowane kola.
\(\displaystyle{ Mg= \sqrt{Mg ^{2} _{x}+ Mg ^{2} _{y}} }\)
3. Obliczamy moment skręcający- patrz wzór (2) - występujący między kolami i pomniejszamy go o współczynnik redukcyjny - tu przyjęty jako:\(\displaystyle{ 0,75}\)
4. Przechodzimy do wzoru (1) licząc średnice w przekrojach i wykreślamy zarys teoretyczny wału- paraboloidę obrotową.
-
kruszewski
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: średnica wału - metoda Hubera
" 3. Obliczamy moment skręcający- patrz wzór (2) - występujący między kolami i pomniejszamy go o współczynnik redukcyjny - tu przyjęty jako: 0,75".
Nie jest prawdą, że ten współczynnik jest tu przyjęty. Jego wartość liczbowa wynika z przyjętej hypotezy, jak mawiał Profesor i tak:
naprężenia normalne i styczne w przekroju sprowadza się wg hypotezy Hubera do wywołującego w tym przekroju ten sam wysiłek materiału naprężenia normalnego wg wzoru:
\(\displaystyle{ \sigma_z = \sqrt{\sigma^2 + 3 \tau^2} }\)
Dla przypadku zginania z jednoczesnym skręcaniem wzór ten ma postać: ..... (*)
\(\displaystyle{ \sigma_z = \sqrt{\left( \frac{M_g}{W_g} \right)^2 + 3 \left( \frac{M_s}{W_s} \right)^2 } }\) ....... (**)
Dla przekroju kołowego, a takim jest przekrój wału, \(\displaystyle{ W_s = 2 W_g }\) ..... (***)
Podstawiając zależność (***) do równania (**) i wynosząc \(\displaystyle{ W_g}\) przed znak pierwiastka otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sigma _z = \frac{1}{W_g} \cdot \sqrt{M_g^2 + \frac{3}{4}M_s^2 }}\) ..... (****)
a po pomnżeniu stron przez \(\displaystyle{ {W_g} }\) najczęściej używaną postać wzoru na naprężenie maksymalne przy jednoczenym zginaniu i skręcaniu pręta o kołowym przekroju poprzecznym za wyłączeniem przekrojów kołowych uważanych za cienkościenne.
\(\displaystyle{ M_z = \sqrt{M^2_g + \frac{3}{4} M^2_s }}\) ...... (*****)
Jak widać, nie jest to współczynnik przyjmowany tu czy gdzie tam, ale wynikający konsekwentnie z przyjętej hypotezy Hubera i kołowości przekroju poprzecznego wału.
Dodano po 10 godzinach 30 minutach 21 sekundach:
Kiedyś pisałem o tym na portalu matematyka.pl
Naprężenia zredukowane
Nie jest prawdą, że ten współczynnik jest tu przyjęty. Jego wartość liczbowa wynika z przyjętej hypotezy, jak mawiał Profesor i tak:
naprężenia normalne i styczne w przekroju sprowadza się wg hypotezy Hubera do wywołującego w tym przekroju ten sam wysiłek materiału naprężenia normalnego wg wzoru:
\(\displaystyle{ \sigma_z = \sqrt{\sigma^2 + 3 \tau^2} }\)
Dla przypadku zginania z jednoczesnym skręcaniem wzór ten ma postać: ..... (*)
\(\displaystyle{ \sigma_z = \sqrt{\left( \frac{M_g}{W_g} \right)^2 + 3 \left( \frac{M_s}{W_s} \right)^2 } }\) ....... (**)
Dla przekroju kołowego, a takim jest przekrój wału, \(\displaystyle{ W_s = 2 W_g }\) ..... (***)
Podstawiając zależność (***) do równania (**) i wynosząc \(\displaystyle{ W_g}\) przed znak pierwiastka otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sigma _z = \frac{1}{W_g} \cdot \sqrt{M_g^2 + \frac{3}{4}M_s^2 }}\) ..... (****)
a po pomnżeniu stron przez \(\displaystyle{ {W_g} }\) najczęściej używaną postać wzoru na naprężenie maksymalne przy jednoczenym zginaniu i skręcaniu pręta o kołowym przekroju poprzecznym za wyłączeniem przekrojów kołowych uważanych za cienkościenne.
\(\displaystyle{ M_z = \sqrt{M^2_g + \frac{3}{4} M^2_s }}\) ...... (*****)
Jak widać, nie jest to współczynnik przyjmowany tu czy gdzie tam, ale wynikający konsekwentnie z przyjętej hypotezy Hubera i kołowości przekroju poprzecznego wału.
Dodano po 10 godzinach 30 minutach 21 sekundach:
Kiedyś pisałem o tym na portalu matematyka.pl
Naprężenia zredukowane
-
siwymech
- Użytkownik
- Posty: 2429
- Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Targ
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 608 razy
Re: średnica wału - metoda Hubera
Nie ma potrzeby wyjaśnień, bowiem dodam dla "jasności", wały oblicza się z wzoru na naprężenia zastępcze \(\displaystyle{ \sigma ^{1,2} _{z} }\) oparte na hipotezie wytrz. M.T.Hubera w postaci;
\(\displaystyle{ \sigma _{z}= \sqrt{\sigma _{g} ^{2}+\left( \alpha \cdot \tau _{s} \right) ^{2} } \le k _{go} }\), (1)
Gdzie:
...............................................................................................................................................
-\(\displaystyle{ \alpha }\)- współczynnik redukcyjny określający w jakim stopniu należy uwzględnić w obl.naprężenia styczne
W zależności od obciążeń obliczany \(\displaystyle{ ^{1,2}}\) :
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{k _{go} }{ksj} }\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{k _{go} }{kso} }\)
......................................................
-naprężenia normalne-zginające
\(\displaystyle{ \sigma _{g}= \frac{M _{g} }{W _{x} } }\),
\(\displaystyle{ W _{x} \approx 0,1d ^{3} }\)- wskaźnik wytrz. osiowy
-naprężenia styczne- skręcające
\(\displaystyle{ \tau= \frac{M _{s} }{W _{o} } }\)
\(\displaystyle{ W _{o} \approx 0,2d ^{3} }\)- wskaźnik wytrz. biegunowy, \(\displaystyle{ W _{o}=2W _{x} }\)
Wstawiajac wielkości do (1) i dokonując prostych przekszatałceń otrzymamy naprężenia zastępcze jako
\(\displaystyle{ \sigma _{z}= \frac{ \sqrt{\sigma _{g} ^{2}+\left( \frac{ \alpha \cdot M _{s} }{2} \right) ^{2}} }{W _{x} } \le k _{go} }\), (2)
Lub w przystępniejszej postaci
\(\displaystyle{ \sigma _{z}= \frac{M _{z} }{W _{x} } \le k _{go} }\), (3)
Moment zredukowany
\(\displaystyle{ M _{z}= \sqrt{\sigma _{g} ^{2}+\left( \frac{ \alpha \cdot M _{s} }{2} \right) ^{2} } }\), (4)
.................................................................................................
1.Zb.Dąbrowski, M. Maksymiuk. Wały i osie. PWN-Wa-Wa 1984
2.Zb.Dąbrowski. Wały maszynowe. PWN Wa-Wa 1999
Strony 42 i dalsze...
\(\displaystyle{ \sigma _{z}= \sqrt{\sigma _{g} ^{2}+\left( \alpha \cdot \tau _{s} \right) ^{2} } \le k _{go} }\), (1)
Gdzie:
...............................................................................................................................................
-\(\displaystyle{ \alpha }\)- współczynnik redukcyjny określający w jakim stopniu należy uwzględnić w obl.naprężenia styczne
W zależności od obciążeń obliczany \(\displaystyle{ ^{1,2}}\) :
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{k _{go} }{ksj} }\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{k _{go} }{kso} }\)
......................................................
-naprężenia normalne-zginające
\(\displaystyle{ \sigma _{g}= \frac{M _{g} }{W _{x} } }\),
\(\displaystyle{ W _{x} \approx 0,1d ^{3} }\)- wskaźnik wytrz. osiowy
-naprężenia styczne- skręcające
\(\displaystyle{ \tau= \frac{M _{s} }{W _{o} } }\)
\(\displaystyle{ W _{o} \approx 0,2d ^{3} }\)- wskaźnik wytrz. biegunowy, \(\displaystyle{ W _{o}=2W _{x} }\)
Wstawiajac wielkości do (1) i dokonując prostych przekszatałceń otrzymamy naprężenia zastępcze jako
\(\displaystyle{ \sigma _{z}= \frac{ \sqrt{\sigma _{g} ^{2}+\left( \frac{ \alpha \cdot M _{s} }{2} \right) ^{2}} }{W _{x} } \le k _{go} }\), (2)
Lub w przystępniejszej postaci
\(\displaystyle{ \sigma _{z}= \frac{M _{z} }{W _{x} } \le k _{go} }\), (3)
Moment zredukowany
\(\displaystyle{ M _{z}= \sqrt{\sigma _{g} ^{2}+\left( \frac{ \alpha \cdot M _{s} }{2} \right) ^{2} } }\), (4)
.................................................................................................
1.Zb.Dąbrowski, M. Maksymiuk. Wały i osie. PWN-Wa-Wa 1984
2.Zb.Dąbrowski. Wały maszynowe. PWN Wa-Wa 1999
Strony 42 i dalsze...
-
kruszewski
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: średnica wału - metoda Hubera
Pochodzenie i rolę współczynnika \(\displaystyle{ \alpha}\) w przywoływanym tu wzorze (1) dostatecznie wyjaśnia autor poz. [1]. I co należy tu zauważyć to to, że wartość liczbowa tego współczynnika proporcjonalności obu naprężeń do siebie nie jest przyjmowana a obliczana w zależności od rodzajów obciążenia i materiału (tworzywa).
Warto zuważyći to, co autor poz.[1] pisze na str. 39 pkty 1. i 2.
oraz w ostatnim akapicie podrozdziału 2.2.
" Należy jeszcze raz podkreślić, że argument \(\displaystyle{ \varphi}\) , (czyli kąt między płaszczyznami obciążeń stałego i wirującego (W.Kr.)) dla którego momnt zastępczy \(\displaystyle{ M_z}\) osiaga maksimum, jest na ogół różny dla każdego badanego przekroju i jego wartość należy znajdować w sposób podany powyżej przy obliczaniu każdej ze średnic".
Zatem wartości liczbowe obu współczynników proporcjonalności \(\displaystyle{ \frac{3}{4} }\) przy obciążeniu staycznym i \(\displaystyle{ \alpha }\) nie są dowolnie przyjmowane a zależą od konkretnych warunków ociążenia i położenia badanego przekroju.
I to chcę pokazać czytającym i PT Autorowi postów.
Oraz to, że wzór ten jest do stosowania tylko dla przekrojów kołowych, bo dla takich \(\displaystyle{ W_s=2W_x}\) o czym należy zawsze pamiętać.
Warto zuważyći to, co autor poz.[1] pisze na str. 39 pkty 1. i 2.
oraz w ostatnim akapicie podrozdziału 2.2.
" Należy jeszcze raz podkreślić, że argument \(\displaystyle{ \varphi}\) , (czyli kąt między płaszczyznami obciążeń stałego i wirującego (W.Kr.)) dla którego momnt zastępczy \(\displaystyle{ M_z}\) osiaga maksimum, jest na ogół różny dla każdego badanego przekroju i jego wartość należy znajdować w sposób podany powyżej przy obliczaniu każdej ze średnic".
Zatem wartości liczbowe obu współczynników proporcjonalności \(\displaystyle{ \frac{3}{4} }\) przy obciążeniu staycznym i \(\displaystyle{ \alpha }\) nie są dowolnie przyjmowane a zależą od konkretnych warunków ociążenia i położenia badanego przekroju.
I to chcę pokazać czytającym i PT Autorowi postów.
Oraz to, że wzór ten jest do stosowania tylko dla przekrojów kołowych, bo dla takich \(\displaystyle{ W_s=2W_x}\) o czym należy zawsze pamiętać.
-
siwymech
- Użytkownik
- Posty: 2429
- Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Targ
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 608 razy
Re: średnica wału - metoda Hubera
Oczywistą rzeczą jest, że obliczenia w Podstawach konstrukcji maszyn opierają się na wytrzymałosci materiałów.
Wzór na moment zredukowany, który przytoczyłem za literaturą przedmiotu( Zb.Dabrowski. wały...) precyzuje rodzaj obciążeń- jest w swoisty sposób "przystosowany" do części maszyn jakimi są wały. Dokładniej chodzi o uwzględnienie skręcania tętniącego i skręcania wahadłowego poprzez właściwy dobór materiału na wały i obl. współczynnika redukcyjnego \(\displaystyle{ \alpha .}\)
Krótko pisząc nauki techniczne nie stoją w miejscu...
Wzór na moment zredukowany, który przytoczyłem za literaturą przedmiotu( Zb.Dabrowski. wały...) precyzuje rodzaj obciążeń- jest w swoisty sposób "przystosowany" do części maszyn jakimi są wały. Dokładniej chodzi o uwzględnienie skręcania tętniącego i skręcania wahadłowego poprzez właściwy dobór materiału na wały i obl. współczynnika redukcyjnego \(\displaystyle{ \alpha .}\)
Krótko pisząc nauki techniczne nie stoją w miejscu...
-
kruszewski
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: średnica wału - metoda Hubera
To wszystko prawda, ale proszę o ostrożnść w używaniu pojęcia "przyjmujemy", które jest dość szerokie i sugeruję pewną dowolność w wyborze.
-
siwymech
- Użytkownik
- Posty: 2429
- Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Targ
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 608 razy
Re: średnica wału - metoda Hubera
Dowolności nie ma, naprężenia dopuszczalne przyjmujemy z tablic tablicach wytrzymałościowych. Może wystąpić problem dokladności wynikajacy z ustalenia -zaokrąglenia wyniku.
-
kruszewski
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: średnica wału - metoda Hubera
Pisze Pan w post : Re: średnica wału - metoda Hubera (Post by siwymech #5599790)
"3. Obliczamy moment skręcający- patrz wzór (2) - występujący między kolami i pomniejszamy go o współczynnik redukcyjny - tu przyjęty jako:0,75" (pokolorowanie moje, W.Kr.)
No więc jak? Obliczany czy przyjmowany?
Z należnym szacunkiem
W.Kr.
Na dalszą dyskusję proponuję:
Hyde Park
"3. Obliczamy moment skręcający- patrz wzór (2) - występujący między kolami i pomniejszamy go o współczynnik redukcyjny - tu przyjęty jako:0,75" (pokolorowanie moje, W.Kr.)
No więc jak? Obliczany czy przyjmowany?
Z należnym szacunkiem
W.Kr.
Na dalszą dyskusję proponuję:
Hyde Park