Granica zmiennych o rozkładzie Rademachera

[FasolkaBernoulliego]

Przenoszę niżej cytowany problem do nowego tematu, żeby mogli się Państwo nad nim zastanowić niezależnie od zadania rozważanego uprzednio. Rzecz o ciągu niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Rademachera zadanych poniższym wzorem (mam nadzieję, że dobrze go wymyśliłem) i jego granicy.

Przepraszam za odświeżanie tematu, ale moje pytanie dotyczy dokładnie tego zadania. Kontekst i samo zadanie znaleźć można na stronie .
Samo zadanie jest chyba dość proste (ciąg nie może zbiegać wg prawdopodobieństwa), natomiast zastanawia mnie inny, bezpośrednio powiązany problem. Rozpatrzmy \(\displaystyle{ \left( \Omega = (0,1), \mathcal{F} = \mathcal{B}(\Omega) \right)}\) wyposażoną w miarę Lebesgue'a i zdefiniujmy dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ X_n (\omega) = \begin{cases} -1, \quad \omega \in A_n \\ \ 1, \quad \omega \in B_n \\ \ 0, \quad \text{ w pozostałych przypadkach}\end{cases} }\)
gdzie \(\displaystyle{ A_n = \bigcup_{k=0}^{n-1} \left( \frac{2k}{2^n}, \frac{2k+1}{2^n} \right) }\) oraz \(\displaystyle{ B_n = \bigcup_{k=0}^{n-1} \left( \frac{2k+1}{2^n}, \frac{2k+2}{2^n} \right) }\).
Zmienne \(\displaystyle{ X_n}\), o ile dobrze myślę, są niezależne i mają rozkłady jak w zadaniu. Jaka jest sensowna granica \(\displaystyle{ X_n}\)? W sensie słabym zdaje się, że każdy z elementów tego ciągu jest jego granicą, ale czy da się wybrać granicę w jakimś rozsądnym sensie "lepszą"?

[leg14]

Czy ja dobrze rozumiem, że intencją tu jest:
dla ustalonego n
dzielimy na odcinki długości \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n} }\)
na parzystych odcinkach wartość 1, na nieparzystych wartość -1 ?
(bo z zapisu to nie wynika)

Dodano po 2 minutach 12 sekundach:
I jeszcze dodam, że

W sensie słabym zdaje się, że każdy z elementów tego ciągu jest jego granicą

jest nieprawdą

[FasolkaBernoulliego]

Taką miałem intuicję. A co wynika z zapisu?

W sensie słabym miałem na myśli zbieżność według rozkładu, podejrzewam, że to co napisałem może znaczyć co innego. Dlaczego jest to nieprawdą?

Dzięki za zainteresowanie, bo już się obawiałem, że nikt nie podejmie tematu.

[leg14]

Edit: brakuje jeszcze okreslenia, co się dzieje na granicach przedziałów, uznaję, ze patrzymy na przedziały postaci [,)

Taką miałem intuicję. A co wynika z zapisu?

Najbardziej "na prawo" przedział jaki osiągniesz będzie miał postać \(\displaystyle{ (\frac{2n -2}{2^n}, \frac{2n}{2^n} }\)

W sensie słabym miałem na myśli zbieżność według rozkładu, podejrzewam, że to co napisałem może znaczyć co innego. Dlaczego jest to nieprawdą?

A dobra sorry jest prawdą, mają ten sam rozkład xd więc co mają nie zbiegać do siebie nawzajem.
Tutaj jest taki problem, że zbieżnośc słaba zależy tylko od rozkładu, więc te całe machinacje z dzieleniem na odcinki nie mają znaczenia.
Teraz apropo zbiezności prawie na pewno, według P, w Lp:
a) rodzina jest jednostajnie całkowalna, więc według P ---> Lp
b) twierdzę, że nie ma zbieżności prawie na pewno (ale weź to sprawdź):
weźmy sobie liczbę niewymierną \(\displaystyle{ r }\) i popatrzmy na jej zapis w systemie binarnym.
wygląda na to, że jedynki i zera na kolejnych "współrzędnych" odpwiadają wartościom na \(\displaystyle{ X_n(r) }\)
Tzn na it-tej pozycji jest 1 wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ X_i(r) = 1 }\)

No ok, ale jest to liczba niewymierna, więc juz widać, że nie może być mowy o jakiejkolwiek zbiezności na liczbach niewymiernych, a że liczby nwm mają miarę 1, to nie ma zbieznosci pnp.

[FasolkaBernoulliego]

Pokazanie, że nie ma zbieżności według prawdopodobieństwa można znaleźć w cytowanym wątku, tam było ogólniej. Tutaj chciałem rozważyć konkretny przykład, gdzie te składniki ciągu są niezależne. Chodzi mi o to czy jest coś pomiędzy zbieżnością według rozkładu, a zbieżnością wg prawdopodobieństwa?

Co się dzieje na końcach przedziałów jest określone w definicji zmiennej - przyjmuje ona tam 0, ale to nie ma znaczenia, możemy przyjąć 1 lub -1, jak łatwiej będzie na to patrzeć.

W określeniach zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) i \(\displaystyle{ B_n}\) faktycznie coś dziwnego zrobiłem. Miało by być w górnym indeksie raczej \(\displaystyle{ 2^{n-1} - 1}\) (weź sprawdź, czy tak by było dobrze, bo już nie myślę).