Różne wyrazy

[mol_ksiazkowy]

Określony jest ciąg
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 =2 \\ x_{n+1} = \frac{2+x_n}{1-2x_n} \end{cases} }\)
Udowodnić, że wszystkie wyrazy tego ciągu są różne.

[a4karo]

Niech \(\tan y_n=x_n\)
Wtedy mamy
$$\tan y_{n+1}=\frac{\tan \arctan 2+\tan y_n}{1-\tan \arctan 2\cdot \tan y_n}=\tan(\arctan 2+y_n)$$
a stąd łatwo wynika różnowartościowość ciągu `x_n`.