Witam
Mam problem z takim zadankiem:
Dla jakich wartości a i b funkcja
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{a}{1 + (bx)^2}}\)
\(\displaystyle{ -\infty < x < \infty}\)
jest gęstością pewnej zmiennej losowej. Wyznaczyć jej dystrybuantę.
Za wszelką pomoc będę bardzo wdzięczny
Funkcja gęstości z parametrami
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2285
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Funkcja gęstości z parametrami
Mówimy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją gęstości, jeżeli
\(\displaystyle{ f(x)>0}\) oraz \(\displaystyle{ \int\limits_{\mathbb{R}} f(x) dx=1}\).
Zatem, dla naszej funkcji
\(\displaystyle{ f(x)>0 \iff \frac{a}{1+(bx)^2}>0 \iff a>0}\)
Ponadto
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{a}{1+(bx)^2} \mbox{ dx}=a\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+(bx)^2}=\frac{a}{b} \pi=1 \iff a=\frac{b}{\pi}}\)
Zatem dla każdego \(\displaystyle{ b>0}\), wystarczy dobrac takie \(\displaystyle{ a=\frac{b}{\pi}}\)
\(\displaystyle{ f(x)>0}\) oraz \(\displaystyle{ \int\limits_{\mathbb{R}} f(x) dx=1}\).
Zatem, dla naszej funkcji
\(\displaystyle{ f(x)>0 \iff \frac{a}{1+(bx)^2}>0 \iff a>0}\)
Ponadto
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{a}{1+(bx)^2} \mbox{ dx}=a\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+(bx)^2}=\frac{a}{b} \pi=1 \iff a=\frac{b}{\pi}}\)
Zatem dla każdego \(\displaystyle{ b>0}\), wystarczy dobrac takie \(\displaystyle{ a=\frac{b}{\pi}}\)