Przekształcenie
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Przekształcenie
Dzień dobry,
robiłam zadanie i wpadłam na pomysł ale nie wiem czy jest poprawny, mianowicie:
Skoro
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = e}\)
to
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{n} = \sqrt[n]{e}}\)
więc czy poprawnym jest
\(\displaystyle{ \ln \left( 1+ \frac{1}{y} \right) = \frac{1}{y}}\)
robiłam zadanie i wpadłam na pomysł ale nie wiem czy jest poprawny, mianowicie:
Skoro
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = e}\)
to
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{n} = \sqrt[n]{e}}\)
więc czy poprawnym jest
\(\displaystyle{ \ln \left( 1+ \frac{1}{y} \right) = \frac{1}{y}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Przekształcenie
W sensie, że działa to tylko przy granicach?
Jeśli tak to ma ktoś może wskazówkę jak pokazać, że
\(\displaystyle{ x>0\\
x + \frac{x^2}{2} < \ln(1+x)}\)
Jeśli tak to ma ktoś może wskazówkę jak pokazać, że
\(\displaystyle{ x>0\\
x + \frac{x^2}{2} < \ln(1+x)}\)
Ostatnio zmieniony 22 sty 2020, o 22:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Przekształcenie
A jeśli chodziło o nierówność \(\displaystyle{ x - \frac{x^2}{2} < \ln(1+x)}\) dla \(\displaystyle{ x > 0}\), to zacznij od zróżniczkowania jej stronami.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Przekształcenie
Dokładniej: jeśli funkcje \(\displaystyle{ f, g : [a, b) \to \RR}\) są ciągłe na przedziale \(\displaystyle{ [a, b)}\) i różniczkowalne wewnątrz, a ponadto \(\displaystyle{ f(a) = g(a)}\) oraz \(\displaystyle{ f'(x) < g'(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in (a, b)}\), to wtedy \(\displaystyle{ f(x) < g(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in (a, b)}\). Jest to prawdą także gdy przedział jest nieograniczony z prawej strony, czyli gdy \(\displaystyle{ b = \infty}\).
Stosujemy ten fakt do funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x - \frac{x^2}{2}, g(x) = \ln(1+x)}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0, \infty)}\).
Stosujemy ten fakt do funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x - \frac{x^2}{2}, g(x) = \ln(1+x)}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0, \infty)}\).