Czy każdy zbiór ma nadzbiór właściwy?

[zdl]

Czy każdy zbiór ma nadzbiór właściwy? Odpowiedź brzmi zapewne "tak". Zakładam, że można to łatwo pokazać za pomocą mocy zbiorów i wiedzy o tym, że jest nieskończenie wiele mocy zbiorów. Pytanie czy mogę znaleźć odpowiedź bazując jedynie na podstawach naiwnej teorii mnogości bez definicji o równoliczności? Być może tak, ale to będzie chyba nietrywialne? Nie przychodzi mi w chwili obecnej nic do głowy.

A może wystarczy skorzystać z tego, że nie ma zbioru wszystkich zbiorów?

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolnym zbiorem. Istnieje zbiór \(\displaystyle{ X}\), który nie jest elementem \(\displaystyle{ A}\), bo inaczej \(\displaystyle{ A}\) byłby zbiorem wszystkich zbiorów co nie jest możliwe. Ustalmy \(\displaystyle{ B := A \cup \{X\}}\). Zatem \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) (łatwe do pokazania) oraz \(\displaystyle{ A \not = B}\), bo \(\displaystyle{ X \notin A}\) co było do udownienia.

Chyba się udało.

[Premislav]

Dobrze myślisz, chociaż jeszcze prościej (i przy okazji jest to konkretniejsze) jest wziąć zbiór \(\displaystyle{ A\cup \left\{A\right\}}\) i wtedy aksjomat regularności załatwia sprawę.