Liczby 'nieogarnialne'

[Stasiu]

Jestem uczniem pierwszej klasy liceum i w związku z tym moja wiedza matematyczna nie jest zbyt usystematyzowana, tym bardziej chciałem zapytać nieporównanie bardziej doświadczonych matematyków o ocenę mojego rozumowania.

Dziś wracając po lekcjach do domu myślałem o podziale liczb rzeczywistych. Zastanawiałem się nad konstruowaniem kolejnych kategorii liczb i uogólnianiu pojęcia liczby - zaczynając od liczb naturalnych, poprzez wymierne do dalszych uogólnień. Dodawanie możliwości konstrukcji innych liczb niezawartych w poprzednim zbiorze poprzez dopuszczanie kolejnych działań - pierwiatkowanie, logarytmy, ciągi (da się je zapisać w skończonej formie - chociażby słownej)... Pomyślałem, że wszystkie liczby rzeczywiste da się przedstawić w jakiejś postaci . Jednak:

Jeśli dałoby się każdą liczbę rzeczywistą przedstawić w formie skończonej (w jakimkolwiek języku) to zawierałyby one skończoną ilość informacji, czyli byłoby ich przeliczalnie wiele, ale wiemy (ja akurat z argumentu przekątniowego), że liczb rzeczywistych jest więcej niż naturalnych i nie da się ich ponumerować. Z tego wniosek są istnieją liczby rzeczywiste, których nie da się przedstawić w jakiejkolwiek formie (?)! Nazwałem je w swojej terminologii (choć zapewne są one inaczej już nazwane) nieopisywalnymi, ale później dużo bardziej spodobała mi się nazwa 'nieogarnialne'. Zafascynowało mnie, że mogą istnieć liczby, których nie da się z natury określić! Ale teraz nasuwa mi się pytanie - co to znaczy, że liczba istnieje? Zawsze słowa 'Istnieje takie x, że ...' rozumiałem jako 'Da się znaleźć takie x, że ...'. A może coś z samym pojęciem liczby rzeczywistej jest nie tak? Może je błędnie interpretuję? Nie znalazłem żadnej satysfakcjonującej mnie ich definicji. Zazwyczaj określa się je na podstawie geometrii, a nie podoba mi się takie mieszanie pojęć, które nie są jednoznacznie określone. Wydaje mi się, że liczby powinno się konstruować od podstaw - od naturalnych, zdefiniowanych jedynie z teorii zbiorów, potem całkowite, wymierne, przestępne itd... A nie widzę tam miejsca dla 'nieogarnialnych'. A może po prostu mój niewyrobiony umysł matematyczny zawiódł mnie w jakiś ślepy zaułek błędu?

Liczby rzeczywiste - tak czasem słyszałem - to te, które da się zaznaczyć na osi liczbowej. Ale jeśli każdą liczbę rzeczywistą dało się zaznaczyć poprzez skończony ciąg działań, to te ciągi działań dałoby się ponumerować, a zatem liczb rzeczywistych byłoby tyle, co naturalnych.

Przypomniałem sobie, że czytałem o liczbach, które autor (Roger Penrose akurat w 'Nowym umyśle cesarza') (nie wiem czy to przyjęta nazwa) nazwał nieobliczalnymi - jako przykład dając liczbę, która w rozwinięciu dziesiętnym na n-tym miejscu na przecinku ma 1, gdy n-ta maszyna Turinga zakończy pracę, 0 - jeśli nie zakończy. Problem zakończenia pracy przez daną maszynę Turinga jest nierozstrzygalny algorytmicznie, więc liczby tej nie da się obliczyć. Nie wiem jednak czy ta liczba zalicza się do mojej klasy liczb 'nieogarnialnych', w końcu jest opisana słownie, dobrze określona, a tylko nie da się jej obliczyć. Nie wiem czy to wystarcza.

Zapewne dotykam zagadnienia, które jest powszechnie znane, może się gdzieś pomyliłem i to, co napisałem jest wierutną bzdurą, nie jestem pewien, czy w dobrym dziale zamieszczam ten temat, jeśli tak przepraszam. Chciałem po prostu, by zajrzał do tego ktoś, kto się na tym lepiej zna.

[Lady Tilly]

Nie czuję się tą, która się lepiej zna ale Twoje rozważania wzbudziły we mnie chęć poszukiwać ciekawych informacji. Na przykład znalazłam dość długą rozprawę na temat "czy liczby rzecywiste są rzeczywiste?" oraz

Kod: Zaznacz cały

http://www.wiw.pl/delta/czy_liczby.asp

po prostu zainspirował mnie Twój temat do zagłębienia się w nim i chciałam się tylko podzielić tym co znalazłam. Może cokolwiek sytuacja Ci się przez to rozjaśni.

[Arbooz]

Temat bardzo mi się podoba, jest z pewnością ciekawy.
Może Ameryki nie odkryjemy, ale chętnie posłucham dalszego rozwinięcia tej myśli

[Stasiu]

Dzięki, Karolino, za ten artykuł. Leży on w kierunku moich rozmyślań ostatnich i czytałem go z zaciekawieniem. (choć nie dotyczy on tych liczb 'nieogarnialnych', to jednak coś o samych liczbach rzeczywistych było dla mnie ciekawe.)
W pewnym stopniu (choć nie do końca - zrozumienie w moim przypadku nie jest tak prostym procesem) pomógł zrozumieć mi różnicę między gęstością, a 'zupełnością' zbioru (takie określenie było tam użyte, jako obowiązujące).

Były opisane tam tzn 'luki' w zbiorze liczb rzeczywistych i do ich opisania użyta była sytuacja (te podzbiory nie posiadające elementów najmniejszych/największych), która mnie zainspirowała do takich myśli:
Zbiór otwarty liczb wymiernych z przedziału np.(0,1) nie ma elementu najmniejszego (ani największego), bo jakąkolwiek byśmy liczbę nie wzięli, to znajdziemy mniejszą. Nigdy wcześniej nie zdawałem sobie sprawy, że coś takiego może istnieć, a fakt nieposiadania elementu skrajnego utożsamiałem z 'nieograniczonością w przestrzeni' (przepraszam za tak niekonkretne sformułowanie, ale nie umiem inaczej) - ciekawe
Analogiczny zbiór otwarty liczb rzeczywistych (0, 1) ma element najmniejszy (istnieje takowy, ale nie da się go znaleźć ) - tak to zrozumiałem - czyli ta liczba (jeśli można tak powiedzieć - liczba dążąca do 0)jest 'sąsiadem' liczby 0. Czyli pomiędzy tą liczbą, a liczbą 0 nie ma innych liczb rzeczywistych. Nie można pokazać liczby pomiędzy tymi liczbami dlatego, że samej liczby 'dążącej do 0' nie można pokazać (ale ogarnąć się da - to nie jest liczba z kategorii tych, o których pisałem wcześniej) - również ciekawe

Ostatnio udało mi się jako-takie pojęcie liczb rzeczywistych znaleźć, uznałem je za 'nieskończony ciąg cyfr' - czyli samą liczbę rzeczywistą rozumiem z jej rozwinięcia (np dziesiętnego). I to mi się zgadza z wsześniejszymi 'rozważaniami' (wielke słowo ).

Nadal jednak samo istnienie liczb z natury nie dających się zapisać jest dla mnie bardzo ciekawe - nie wynika to może z niezrozumienia, tylko z ... hm... zachwytu.

PS To forum stało się jakby 'pamiętnikiem' :P .

PS2 Dziękuję raz jeszcze za ten artykuł. Bardzo to dla mnie niespotykane, by stać się, czy chociaż zrobić coś będącego dla kogoś inspiracją.

[Arek]

Pomyślałem, że dodam kilka swoich przemyśleń do dyskusji

Jestem uczniem pierwszej klasy liceum i w związku z tym moja wiedza matematyczna nie jest zbyt usystematyzowana, tym bardziej chciałem zapytać nieporównanie bardziej doświadczonych matematyków o ocenę mojego rozumowania.

Hmmm... O ile mi wiadomo, większość użytkowników forum nie jest matematykami (jeszcze) a ich bagaż doświadczeń jest jedynie ok. 2 - 3 lat większy od Twojego. Nie ma się więc czym martwić

Dodawanie możliwości konstrukcji innych liczb niezawartych w poprzednim zbiorze poprzez dopuszczanie kolejnych działań - pierwiatkowanie, logarytmy, ciągi (da się je zapisać w skończonej formie - chociażby słownej)... Pomyślałem, że wszystkie liczby rzeczywiste da się przedstawić w jakiejś postaci .

Tu przydałoby się pewne uściślenie - jeżeli masz na myśli KONSTRUOWANIE np. liczb wymiernych z całkowitych, nie możesz mówić o 'dopuszczaniu' kolejnych działań. To jest niedopuszczalne. Cała zabawa polega na tym, że masz dajmy na to: zbiór liczb całkowitych z jakimś tam dodawaniem i mnożeniem - teraz Twoja w tym głowa, jak to zrobić, by TYLKO z tych działań (i ich własności) wyprodukować sobie liczby wymierne. Takie rzeczy jak potęgowanie, nie wspominając już o logarytmowaniu (bo to zupełnie, ale to zupełnie inna bajka) trzeba umieć w konstrukji zdefiniować TYLKO I WYŁĄCZNIE przy pomocy tego, co wiemy o zbiorze i działaniach JUŻ DANYCH. Możliwe jest także określanie odpowiednich osobnych aksjomatów np. o istnieniu kresów.

Idąc dalej: stwierdzenie "zapisać liczbę w skończonej formie" mówi niewiele. Bo zarówno wśród liczb niewymiernych, jak i przestępnych istnieją takie, które można opisać w skończonej formie (np. liczba pi to najmniejsze rozwiązanie dodatnie równania sinx=0 w R, gdzie R to odpowiednio zdefiniowane liczby rzeczywiste).

Jeśli dałoby się każdą liczbę rzeczywistą przedstawić w formie skończonej (w jakimkolwiek języku) to zawierałyby one skończoną ilość informacji, czyli byłoby ich przeliczalnie wiele, ale wiemy (ja akurat z argumentu przekątniowego), że liczb rzeczywistych jest więcej niż naturalnych i nie da się ich ponumerować. Z tego wniosek są istnieją liczby rzeczywiste, których nie da się przedstawić w jakiejkolwiek formie (?)! Nazwałem je w swojej terminologii (choć zapewne są one inaczej już nazwane) nieopisywalnymi, ale później dużo bardziej spodobała mi się nazwa 'nieogarnialne'. Zafascynowało mnie, że mogą istnieć liczby, których nie da się z natury określić!

Jeżeli chodzi o pierwszą część wypowiedzi - argument przekątniowy mówi tylko, że istnieją inne liczby, niż liczby wymierne (lub nawet algebraiczne) - ale to nieprawda, że takich liczb nie można przedstawić w odpowiedniej formie. Poza tym - pojawia się pewien problem. Mówisz: istnieją liczby rzeczywiste, których nie można opisać. Ok - problem w tym, że to tak naprawdę nic nie mówi. Każda liczba rzeczywista może być określona za pomocą nieskończonego ciągu liczb naturalnych. I teraz - jeżeli wskazuję na OKREŚLONĄ liczbę - wskazuję jednocześnie na ciąg ją definiujący.

Nie można przedstawić JEDNOCZEŚNIE opisu wszystkich liczb rzeczywistych, ale stwierdzenie: biorę liczbę rzeczywistą nie oznacza: robie kropke na prostej, tylko własnie: "biorę ciąg definiujący tą liczbę". Skoro liczby rzeczywiste konstruuje się z prostszych, to biorąc daną liczbę powołuję się na konstrukcję tej liczby z prostszych struktur.

Zapewne dotykam zagadnienia, które jest powszechnie znane, może się gdzieś pomyliłem i to, co napisałem jest wierutną bzdurą, nie jestem pewien, czy w dobrym dziale zamieszczam ten temat, jeśli tak przepraszam. Chciałem po prostu, by zajrzał do tego ktoś, kto się na tym lepiej zna.

Nie przepraszaj, nie zrobiłeś nic złego

[Stasiu]

Ja miałem na myśli jedynie to, że są liczby rzeczywiste - tak mi się wydaje - których nie da się określić za pomocą skończonego ciągu liczb naturalnych. Zarazem - nieważne jakiego sposobu zapisu uzywać - nie da się ich zapisać w skończonej formie - i to wydało mi się ciekawe, bez wchodzenia w zawiłości definiowania. Ciekawe jest to, że pojęcie istnienia matematycznego nie ogranicza się jedynie do obiektów, które możemy pokazać.