Elektron i najmniejsze prawdopodobieństwo

[kemi17]

Hej.
Mam ogromną prośbę, czy ktoś byłby w stanie zrobić to zadanie i wytłumaczyć mi o co w nim chodzi? Zupełnie nie wiem jak się za to zabrać

Elektron znajduje się w układzie, w którym położenie opisujemy zmienną \(\displaystyle{ x}\). Kwantowa funkcja falowa opisująca elektron jest równa:

\(\displaystyle{ F(x)=N\cdot \exp(-x/L)\cdot\sin\left( 2 \pi \cdot \frac{x}{L} + \frac{ \pi }{4}\right) }\)

gdzie \(\displaystyle{ N}\) oraz \(\displaystyle{ L = 8\, nm}\) są stałymi. Zmienna x przyjmuje wartości od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \frac{3}{2}L}\). Wypisz wszystkie wartości \(\displaystyle{ x}\) w tym zakresie, w pobliżu których prawdopodobieństwo znalezienia elektronu jest najmniejsze. Argumentami funkcji trygonometrycznych są liczby, np. \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\pi}{2}\right) = 1, \cos\left( \frac{\pi}{2}\right) = 0}\).

Dodano po 5 minutach 22 sekundach:
Dodam tylko, że policzyłam pochodną funkcji ale nie wiem co dalej

[Gosda]

Przyrównaj pochodną do zera.

[janusz47]

Elektron znajduje się w układzie, w którym położenie opisuje zmienną \(\displaystyle{ x. }\) Kwantowa funkcja falowa opisująca elektron jest równa

\(\displaystyle{ \Psi(x) = N\cdot \exp \left(-\frac{x}{L}\right) \cdot \left( 2\pi \cdot \frac{x}{L}+ \frac{\pi}{4}\right),}\)

gdzie
\(\displaystyle{ N, \ \ L= 8nm }\) są stałymi. Zmienna \(\displaystyle{ x }\) przyimuje wartości od \(\displaystyle{ 0, }\) do \(\displaystyle{ \frac{3}{2}L. }\)

Proszę wypisać wartości \(\displaystyle{ x }\) w tym zakresie, w pobliżu których prawdopodobieństwo znalezienia elektronu jest najmniejsze.
Argumentami funkcji trygonometrycznych są liczby na przykład \(\displaystyle{ \sin \left(\frac{\pi}{2} \right) , \ \ \cos\left(\frac{\pi}{2} \right) = 0.}\)

Rozwiązanie

Znajdujemy minimum lokalne funkcji falowej \(\displaystyle{ \Psi }\)

\(\displaystyle{ \Psi'(x) = -\frac{1}{L}\cdot N \exp \left(-\frac{x}{L} \right) \sin \left(2\pi \cdot \frac{x}{L} + \frac{1}{4}\pi \right)+ N\cdot \exp\left(-\frac{x}{L} + \frac{1}{4}\pi \right) \cdot \frac{2\pi}{L} \cos\left( 2\pi \frac{x}{L} + \frac{1}{4}\pi \right) = \\ = \frac{N}{L} \exp \left( -\frac{x}{L}\right) \left [2\pi\cos\left(2\pi\frac{x}{L} + \frac{1}{4}\pi \right) - \sin \left( 2\pi \frac{x}{L} + \frac{1}{4}\pi \right)\right ]}\)

Stosując wzory na sinus i kosinus sumy dwóch argumentów, otrzymujemy

\(\displaystyle{ \left[2\pi \left (\cos\left(2\pi\frac{x}{L} \right) \cos\left( \frac{\pi}{4}\right) - \sin \left(2\pi\frac{x}{L}\right) \sin\left( \frac{\pi}{4}\right)\right) \right] -\left[\sin \left(2\pi\frac{x}{L}\right) \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(2\pi\frac{x}{L} \right) \right]=0.}\)

\(\displaystyle{ \pi\sqrt{2} \left[ \cos\left (2\pi \frac{x}{L} \right) - \sin\left(2\pi \frac{x}{L}\right) \right] - \frac{\sqrt{2}}{2} \left [ \sin\left(2\pi\frac{x}{L}\right)+\cos\left( 2\pi\frac{x}{L}\right) \right ]= 0 }\)

\(\displaystyle{ \tg\left(2\pi \frac{x}{L}\right) = 1 }\) lub \(\displaystyle{ \tg\left(2\pi \frac{x}{L}\right) = -1 }\)

\(\displaystyle{ \tg\left(2\pi \frac{x}{L}\right) = tg \left(\frac{\pi}{4} +k\cdot \pi \right) }\) i \(\displaystyle{ \tg\left(2\pi \frac{x}{L}\right) = tg \left( -\frac{\pi}{4} +k\cdot \pi \right), \ \ k\in \ZZ }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2\pi \frac{x}{L} = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ 2\pi \frac{x}{L} = -\frac{\pi}{4} + k\pi \end{cases}, \ \ k \in \ZZ }\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{k} = \frac{1}{8}L + \frac{1}{2} L \cdot k, \\ x_{k} = -\frac{1}{8} L + \frac{1}{2}L \cdot k \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 0 <x_{k} \in \left( 0, \ \ \frac{3}{2}L \right ) }\)

\(\displaystyle{ x_{k}\in \left \{ \frac{3}{8}L , \ \ \frac{5}{8}L , \ \ \frac{7}{8}L \frac{9}{8}L , \frac{11}{8}L \right \}, }\)

\(\displaystyle{ x \in \{ 3nm, \ \ 5nm, \ \ 7nm , 9nm, 11nm \} .}\)

[pesel]

Dlaczego minimalizowana jest funkcja falowa, a nie jej kwadrat?

[janusz47]

Bo funkcja falowa \(\displaystyle{ \Psi, }\) a nie jej kwadrat jest interpretowana jako amplituda prawdopodobieństwa.

[AiDi]

Ale jej kwadrat to gęstość prawdopodobieństwa, więc formalnie to kwadratem powinieneś się zająć bo w zadaniu mowa jest o minimalizacji prawdopodobieństwa, a nie amplitudy. Ewentualnie uzasadnij, że można zająć się samą amplitudą, co moim zdaniem nie przejdzie, bo jednak \(\displaystyle{ \sin x}\) ma trochę inne ekstrema niż \(\displaystyle{ \sin^2 x}\).

[pesel]

Sinus nie zeruje się we wszystkich pięciu wskazanych punktach.

[janusz47]

Dlaczego ma się zerować?

[pesel]

Skoro w jednym sinus się zeruje, a w innym się nie zeruje to funkcja falowa raz ma warość zero, a raz różną od zera.

[janusz47]

Elektron znajduje się w układzie, w którym położenie opisuje zmienną \(\displaystyle{ x. }\) Kwantowa funkcja falowa opisująca elektron jest równa

\(\displaystyle{ \Psi(x) = N\cdot \exp \left(-\frac{x}{L}\right) \cdot \sin \left( 2\pi \cdot \frac{x}{L}+ \frac{\pi}{4}\right),}\)

gdzie
\(\displaystyle{ N, \ \ L= 8nm }\) są stałymi. Zmienna \(\displaystyle{ x }\) przyimuje wartości od \(\displaystyle{ 0, }\) do \(\displaystyle{ \frac{3}{2}L. }\)

Proszę wypisać wartości \(\displaystyle{ x }\) w tym zakresie, w pobliżu których prawdopodobieństwo znalezienia elektronu jest najmniejsze.
Argumentami funkcji trygonometrycznych są liczby na przykład \(\displaystyle{ \sin \left(\frac{\pi}{2} \right) , \ \ \cos\left(\frac{\pi}{2} \right) = 0.}\)

Rozwiązanie

Znajdujemy minimum lokalne funkcji falowej \(\displaystyle{ \Psi }\)

\(\displaystyle{ \Psi'(x) = -\frac{1}{L}\cdot N \exp \left(-\frac{x}{L} \right) \sin \left(2\pi \cdot \frac{x}{L} + \frac{1}{4}\pi \right)+ N\cdot \exp\left(-\frac{x}{L} + \frac{1}{4}\pi \right) \cdot \frac{2\pi}{L} \cos\left( 2\pi \frac{x}{L} + \frac{1}{4}\pi \right) = \\ = \frac{N}{L} \exp \left( -\frac{x}{L}\right) \left [2\pi\cos\left(2\pi\frac{x}{L} + \frac{1}{4}\pi \right) - \sin \left( 2\pi \frac{x}{L} + \frac{1}{4}\pi \right)\right ]}\)

Stosując wzory na sinus i kosinus sumy dwóch argumentów, otrzymujemy

\(\displaystyle{ \left[2\pi \left (\cos\left(2\pi\frac{x}{L} \right) \cos\left( \frac{\pi}{4}\right) - \sin \left(2\pi\frac{x}{L}\right) \sin\left( \frac{\pi}{4}\right)\right) \right] -\left[\sin \left(2\pi\frac{x}{L}\right) \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(2\pi\frac{x}{L} \right) \right]=0.}\)

\(\displaystyle{ \pi\sqrt{2} \left[ \cos\left (2\pi \frac{x}{L} \right) - \sin\left(2\pi \frac{x}{L}\right) \right] - \frac{\sqrt{2}}{2} \left [ \sin\left(2\pi\frac{x}{L}\right)+\cos\left( 2\pi\frac{x}{L}\right) \right ]= 0 }\)

\(\displaystyle{ \tg\left(2\pi \frac{x}{L}\right) = 1 }\) lub \(\displaystyle{ \tg\left(2\pi \frac{x}{L}\right) = -1 }\)

\(\displaystyle{ \tg\left(2\pi \frac{x}{L}\right) = tg \left(\frac{\pi}{4} +k\cdot \pi \right) }\) i \(\displaystyle{ \tg\left(2\pi \frac{x}{L}\right) = tg \left( -\frac{\pi}{4} +k\cdot \pi \right), \ \ k\in \ZZ }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2\pi \frac{x}{L} = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ 2\pi \frac{x}{L} = -\frac{\pi}{4} + k\pi \end{cases}, \ \ k \in \ZZ }\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{k} = \frac{1}{8}L + \frac{1}{2} L \cdot k, \\ x_{k} = -\frac{1}{8} L + \frac{1}{2}L \cdot k \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 0 <x_{k} \in \left( 0, \ \ \frac{3}{2}L \right ) }\)

\(\displaystyle{ x_{k}\in \left \{ \frac{3}{8}L , \ \ \frac{5}{8}L , \ \ \frac{7}{8}L \frac{9}{8}L , \frac{11}{8}L \right \}, }\)

\(\displaystyle{ x \in \{ 3nm, \ \ 5nm, \ \ 7nm , 9nm, 11nm \} .}\)

Dodano po 50 sekundach:
No i co z tego?

[pesel]

Ano to, że w jednych punktach gęstość prawdopodobieństwa wynosi zero, a w innych nie.

[AiDi]

Ale po co wklejasz drugi raz to samo rozwiązanie? W zadaniu mowa jest o minimum prawdopodobieństwa, a nie amplitudy, zatem musisz rozpatrywać kwadrat funkcji falowej. No chyba że twierdzisz, że \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ \sin^2x}\) mają w tych samych punktach minima...

[janusz47]

Nie muszę. Trudno twierdzić, aby \(\displaystyle{ \sin(x) }\) i \(\displaystyle{ \sin^2(x) }\) miały minima w tych samych punktach.
Minimum funkcji \(\displaystyle{ \sin(x) }\) odpowiada maksimum funkcji \(\displaystyle{ \sin^2(x) }\) i której jedynymi minimami są jej miejsca zerowe .

[AiDi]

Nie muszę.

W takim razie nie rozumiesz podstaw nierelatywistycznej mechaniki kwantowej w ujęciu falowym. Funkcja falowa nie ma żadnej bezpośredniej interpretacji fizycznej mimo że nazywa się ją "amplitudą prawdopodobieństwa", dopiero kwadrat jej modułu interpretuje się (zgodnie z regułą Borna) jako gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie. Bawiąc się w Twoją ulubioną grę (moją zresztą też) odeślę Cię do stosownej literatury:
Atomy i kwanty - H.Haken, H.Wolf, strona 159
Mechanika kwantowa - L.Schiff, strona 35
Mechanika kwantowa - S.Kryszewski, strona 18
I w nieco bardziej zaawansowanych opracowaniach:
Mechanika kwantowa - L.Landau, J.Lifszyc, strona 22
Mechanika kwantowa - R.Shankar, rozdział 4
Quantum mechanics - L.Ballentines, rozdział 2.4
Quantum mechanics - J.Sakurai - rozdział 1.4

Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w obszarze \(\displaystyle{ x\in\left(0,\frac{3}{2}L\right)}\) dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ \rho(x)=|\psi(x)|^2=N^2e^{-\frac{2x}{L}}\sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}+\frac{\pi}{4}\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ N}\) jest tak dobrane, aby zachodziło:
\(\displaystyle{ \int_\mathbb{R}\rho(x)\textsf{d}x=1}\)
I to ekstrema powyższej funkcji należy badać, bo jak sam stwierdziłeś nie pokrywają się one z ekstremami samej funkcji falowej. Ja bym jeszcze wyznaczył samo \(\displaystyle{ N}\), ale nie jest ono istotne dla samego zadania.

[janusz47]

Opanuj się Pan z oceną i literaturą. Elementarne zadanie na szukanie minimum lokalnego funkcji \(\displaystyle{ \Psi }\) nie \(\displaystyle{ \Psi^2 }\), pochodzące ze zbioru gezmat MIMUW.
Zapewne Pan wiesz, że prawdopodobieństwo to całka z funkcji gęstości.